Момент импульса произвольной системы

Теперь кратко остановимся на твисторном описании импульса и момента импульса массивных частиц или совокупностей (систем) частиц. Пусть — действительный вектор, а — действительный и кососимметричный тензор, причем зависимость последнего от координат дается формулой (6.3.3), так что выполнено условие (6.3.4). (В случае физических систем вектор обязательно будет времениподобным и ориентированным в будущее, но здесь для нас это несущественно.) Тогда для некоторого спинора мы имеем [формула (3.4.20):

Далее, введем твистор момента импульса [или твистор момента, или кинематический твистор] в соответствии с равенствами

(Не опасаясь путаницы, мы могли бы принять как и в случае величин и .) В том, что это действительно твистор, нетрудно убедиться, проверив зависимость его спинорных частей от координат [формула (6.1.51)] с учетом формул (6.3.3) и (6.3.10). Он обладает двумя особыми свойствами. Первое из них — симметрия [формула (6.1.66)]. Второе можно выразить соотношением

которое проверяется непосредственно. Легко показать, что в силу симметрии и равенства (6.3.12) твистор можно записать в виде

где - некоторый эрмитов -твистор [формула (6.1.68)], допускающий «калибровочные преобразования» вида

причем — произвольный элемент пространства . Разложение (6.3.13) можно получить, потребовав, чтобы спинорные части твистора [формула (6.1.54)] имели вид

причем принимали произвольные значения в точке О [в соответствии с формулой (6.3.14)], но, разумеется, удовлетворяли твисторным дифференциальным уравнениям. Соотношение (6.3.13) можно переписать в спинорном виде

где есть главная спинорная часть твистора [формула (6.1.54)]. Действительно, в силу первого уравнения (6.1.56) левая часть равенства (6.3.15) равна а эта величина равна правой части в силу формулы (6.3.13). Равенство следует из равенства которое справедливо во всех точках. В самом деле, если спинор задан во всем пространстве, то мы знаем и [3-е и 4-е равенства (6.1.55)] и аналогично определяется твистором

Отметим, что из формул (6.3.15) и (6.3.10) следует соотношение

Напомним, что главная часть твистора должна удовлетворять уравнению (6.1.70). Подробнее это уравнение будет

рассмотрено в § 5; оно называется конформным уравнением Киллинга, а его решения называются конформными векторами Киллинга. Тадим образом, мы можем сформулировать следующее предложение.

Предложение

Зависимость момента импульса системы от координат такова, что он равен ротору конформного вектора Киллинга.

В случае безмассовой системы можно положить в соответствии с формулой (6.3.24) (см. ниже)

Прямой проверкой [с использованием формулы (6.1.9)] можно убедиться, что для тензора углового момента (6.3.2) допустимо представление (6.3.16). Как мы видели ранее, направления флагштоков спинора касательны к линиям конгруэнции Робинсона. Из равенства (6.3.18) следует, что эти направления совпадают с полем направлений изотропного и ориентированного в будущее конформного вектора Киллинга. Немного ниже мы докажем справедливость обратного утверждения, так что можно сформулировать следующее предложение.

Предложение

Поле всякого изотропного и ориентированного в будущее конформного вектора Киллинга в пространстве Минковского совпадает с полем флагштоков главной спинорной части (И твистора и наоборот.

Предложения (6.3.17) и (6.3.19) можно объединить. Предложение

Тензор может быть тензором момента импульса безмассовой частицы [удовлетворяющей условию (6.3.6)] в том и только в том случае, если он равен ротору поля изотропного и ориентированного в будущее конформного вектора Киллинга.

Доказательство первой части предложения (6.3.19) не совсем тривиально. Если , то

Мы получим требуемый результат, если найдем действительную функцию X, такую, что спинор будет удовлетворять

твисторному уравнению [формула (6.1.1)] . Рассмотрим для этого уравнение т. е.

Из (6.3.21) следует равенство

откуда, учитывая предложение (3.5.15), находим

Согласно предложению (3.5.27), величину действительно; можно представить в виде

так что соотношение (6.3.22) выполняется; здесь — величина, однозначно определяемая формулой (3.5.15). Осталось показать, что поле действительное и имеет вид градиента. Из уравнений (6.3.23) и (6.3.21) следует равенство

откуда в силу предложения (3.5.15) находим т. е. ваем, что в пространстве М производные коммутируют), полуполе действительное. Дифференцируя обе части равенства (6.3.23) и выполняя затем свертку и симметризацию (мы учитычаем

Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу симметрии; поэтому на основании предложения (3.5.15) мы можем сделать вывод, что

Но так как поле действительное, это эквивалентно равенству [формула (5.1.46)], откуда и следует существование функции такой, что чем завершается доказательство нашего утверждения.