Геометрия фундаментальных спиноров

Указанные свойства допускают прямую геометрическую интерпретацию. Для этого лучше всего использовать -мерное (комплексное) проективное пространство ассоциированное с пространством (т. е. пространство одномерных линейных подпространств пространства Отличные от нуля изотропные векторы (т. е. такие, что определяющие световой конус в будут точками несингулярной -мерной поверхности в . В силу рассматриваемых нами свойств всякий фундаментальный спинор определяет проективную -плоскость на при нечетных значениях и проективную -плоскость на при четных Согласно теории (комплексных проективных) квадрик (см.,

например, [133, 284]), максимальная размерность линейного проективного пространства, лежащего на несингулярной (-квадрике, равна если нечетное, и такие образуют семейство; если же четное, то максимальная размерность равна и эти образуют два несвязных семейства. В четном случае эти два семейства отвечают нештрихованным и штрихованным фундаментальным спинорам, соответственно, причем первого семейства часто называют -плоскостью, а второго — -плоскостью. (Это согласуется с терминологией гл. 9, § 3, когда Мы будем называть на -плоскостями. Эти плоскости определяются проективными фундаментальными спинорами (т. е. отличными от нуля фундаментальными спинорами, заданными с точностью до пропорциональности) так что мы имеем

При четных значениях нештрихованные проективные фундаментальные спиноры находятся во взаимно-однозначном соответствии с -плоскостями, а штрихованные — с -плоскостями на

При нечетных фундаментальные проективные спиноры находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с плоскостями на