§ 3. Твисторы и момент импульса

Обратимся к физической интерпретации твистора. В известном смысле эта интерпретация более естественна и более полна, чем геометрическая, обсуждавшаяся выше. Физический смысл имеет не класс эквивалентности пропорциональных твисторов а сам твистор взятый с точностью до фазового множителя, и, что более важно, неизотропные твисторы возникают в рамках этой интерпретации совершенно естественным образом.

Пусть твистор записан в стандартном виде

где предполагается, что Введем следующие определения:

Тогда есть изотропное векторное поле, направленное в будущее, а — действительное кососимметричное тензорное поле.

Пусть — постоянные поля, принимающие те же значения, что и в начале координат О. Зависимость тензоров (6.3.2) от положения (от точки) определяется соотношениями [формула (6.1.10)]

Эти формулы в точности совпадают с законом преобразования 4-вектора импульса и шестикомпонентного тензора момента

импульса (момента количества движения) в специальной теории относительности [327]. В них названные величины, отнесенные к произвольной точке Р, выражаются через те же величины, отнесенные к началу отсчета О. Для дальнейших ссылок отметим также, что из формул (6.3.3) можно получить следующее уравнение для дуального тензора

И наоборот, можно показать, что из равенства (6.3.4) следует второе равенство (6.3.3).

Рассмотрим далее физическую систему, импульс и момент импульса которой определяются формулами вида (6.3.2). Поскольку 4-импульс изотропен и направлен в будущее, можно считать, что мы имеем дело с безмассовой частицей (масса покоя которой равна нулю). Ее спин можно выразить через спин-вектор Паули — Любаньского:

который в силу равенств (6.3.3) не зависит от точки:

В случае реальных безмассовых частиц вектор Паули — Любаньского должен быть пропорционален 4-импульсу:

Действительное число называют спиральностью частицы, а модуль или — спином. В случае квантовых систем спиральность равна целому числу, умноженному на Подставляя (6.3.2) в (6.3.5), находим [формула ( 3.4.22)]

Таким образом, равенство (6.3.6) действительно выполняется и в соответствии с определением (6.1.74) имеем

Требования, чтобы вектор был изотропным и ориентированным в будущее, а тензор совместно с удовлетворял соотношениям (6.3.3) и (6.3.6), позволяют интерпретировать их как 4-импульс и -компонентный тензор момента импульса безмассовой частицы. Как мы уже видели, если задан твистор ), эти требования выполняются автоматически в силу формул (6.3.2). Можно обратить ход рассуждений и

восстановить твистор по заданной паре Восстанавливаемый твистор определяется тогда с точностью до фазы, поскольку очевидно, не изменяются при подстановке

с формулой (6.3.2)]. Таким образом, имеем.

Предложение

Импульс и момент импульса произвольной безмассовой частицы описываются, согласно формуле (6.3.2), твистором (для которого ) с точностью до неопределенности в фазе, отвечающей преобразованию (6.3.8).

Отсюда следует, что твистор общего вида описывает классическую безмассовую частицу со спиральностью

Если спиральность равна нулю, то данное описание тесно связано с геометрической трактовкой твистора, данной ранее. Луч есть геометрическое место точек, в которых и в силу формулы (6.3.2) в этих точках Таким образом, луч можно представлять себе как мировую линию частицы. Дополнительная информация, которая содержится в твисторе но не содержится в луче есть величина («протяженность») 4-импульса (флагштока спинора и фаза (полотнище флага спинора Полотнище флага спинора пА можно в определенном смысле рассматривать как «плоскость поляризации» частицы, но не ясно, в какой мере адекватна такая интерпретация. Можно также думать, что фаза должна иметь отношение к фазе квантовомеханического вектора состояния. Это действительно так. Подобная трактовка связана с материалом § 4, но здесь мы на этом останавливаться не будем.

Если спиральность отлична от нуля, то не существует действительных точек, в которых [формула (6.1.74)], т. е. таких, в которых Это и понятно, поскольку такая частица обладает спиновым моментом, который дает вклад в полный угловой момент. Можно было бы предположить, что должен существовать какой-то выделенный луч, который можно рассматривать как мировую линию частицы. Однако это не так. Самое большее, что можно сделать — выделить изотропную гиперплоскость П, которая определяется соотношением (В случае массивной частицы этим уравнением действительно определяется единственная времениподобная линия, которую можно отождествить с мировой линией частицы [327].) Все образующие гиперплоскости П равноправны. Существует преобразование Пуанкаре, переводящее твистор в себя и отображающее произвольную точку Р гиперплоскости П в любую наперед

заданную точку этой гиперплоскости. В самом деле, соотношение в силу формулы (6.3.2) эквивалентно равенству а потому на основании формулы (6.1.74) мы получаем солял на П, откуда сол Следовательно, преобразование группы Пуанкаре требуемого вида есть трансляция из Р в с последующим преобразованием Лоренца (фактически изотропным поворотом), переводящим диаду в точке Р в диаду в точке Поскольку твистор полностью определяется заданием его спинорных частей в любой из этих точек, указанное преобразование группы Пуанкаре переводит твистор в себя. Так что в указанном смысле классическая безмассовая частица с ненулевым спиновым моментом оказывается нелокализованной.

Определенный интерес представляет то обстоятельство, что конгруэнция Робинсона, определенная по твистору имеет прямое отношение к структуре момента импульса безмассовой частицы со спином. Ее угловой момент относительно фиксированной точки пространства М определяется спинорами причем ГИН тензора [формула (3.5.18) и далее, а также формулы (3.4.20), совпадают с направлениями флагштоков этих спиноров. Направление флагштока спинора неизменно и совпадает с направлением 4-импульса, а направление флагштока спинора совпадает с направлением конгруэнции Робинсона в рассматриваемой точке.