Главная > Спиноры и пространство-время, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Твисторы и момент импульса

Обратимся к физической интерпретации твистора. В известном смысле эта интерпретация более естественна и более полна, чем геометрическая, обсуждавшаяся выше. Физический смысл имеет не класс эквивалентности пропорциональных твисторов а сам твистор взятый с точностью до фазового множителя, и, что более важно, неизотропные твисторы возникают в рамках этой интерпретации совершенно естественным образом.

Пусть твистор записан в стандартном виде

где предполагается, что Введем следующие определения:

Тогда есть изотропное векторное поле, направленное в будущее, а — действительное кососимметричное тензорное поле.

Пусть — постоянные поля, принимающие те же значения, что и в начале координат О. Зависимость тензоров (6.3.2) от положения (от точки) определяется соотношениями [формула (6.1.10)]

Эти формулы в точности совпадают с законом преобразования 4-вектора импульса и шестикомпонентного тензора момента

импульса (момента количества движения) в специальной теории относительности [327]. В них названные величины, отнесенные к произвольной точке Р, выражаются через те же величины, отнесенные к началу отсчета О. Для дальнейших ссылок отметим также, что из формул (6.3.3) можно получить следующее уравнение для дуального тензора

И наоборот, можно показать, что из равенства (6.3.4) следует второе равенство (6.3.3).

Рассмотрим далее физическую систему, импульс и момент импульса которой определяются формулами вида (6.3.2). Поскольку 4-импульс изотропен и направлен в будущее, можно считать, что мы имеем дело с безмассовой частицей (масса покоя которой равна нулю). Ее спин можно выразить через спин-вектор Паули — Любаньского:

который в силу равенств (6.3.3) не зависит от точки:

В случае реальных безмассовых частиц вектор Паули — Любаньского должен быть пропорционален 4-импульсу:

Действительное число называют спиральностью частицы, а модуль или — спином. В случае квантовых систем спиральность равна целому числу, умноженному на Подставляя (6.3.2) в (6.3.5), находим [формула ( 3.4.22)]

Таким образом, равенство (6.3.6) действительно выполняется и в соответствии с определением (6.1.74) имеем

Требования, чтобы вектор был изотропным и ориентированным в будущее, а тензор совместно с удовлетворял соотношениям (6.3.3) и (6.3.6), позволяют интерпретировать их как 4-импульс и -компонентный тензор момента импульса безмассовой частицы. Как мы уже видели, если задан твистор ), эти требования выполняются автоматически в силу формул (6.3.2). Можно обратить ход рассуждений и

восстановить твистор по заданной паре Восстанавливаемый твистор определяется тогда с точностью до фазы, поскольку очевидно, не изменяются при подстановке

с формулой (6.3.2)]. Таким образом, имеем.

Предложение

Импульс и момент импульса произвольной безмассовой частицы описываются, согласно формуле (6.3.2), твистором (для которого ) с точностью до неопределенности в фазе, отвечающей преобразованию (6.3.8).

Отсюда следует, что твистор общего вида описывает классическую безмассовую частицу со спиральностью

Если спиральность равна нулю, то данное описание тесно связано с геометрической трактовкой твистора, данной ранее. Луч есть геометрическое место точек, в которых и в силу формулы (6.3.2) в этих точках Таким образом, луч можно представлять себе как мировую линию частицы. Дополнительная информация, которая содержится в твисторе но не содержится в луче есть величина («протяженность») 4-импульса (флагштока спинора и фаза (полотнище флага спинора Полотнище флага спинора пА можно в определенном смысле рассматривать как «плоскость поляризации» частицы, но не ясно, в какой мере адекватна такая интерпретация. Можно также думать, что фаза должна иметь отношение к фазе квантовомеханического вектора состояния. Это действительно так. Подобная трактовка связана с материалом § 4, но здесь мы на этом останавливаться не будем.

Если спиральность отлична от нуля, то не существует действительных точек, в которых [формула (6.1.74)], т. е. таких, в которых Это и понятно, поскольку такая частица обладает спиновым моментом, который дает вклад в полный угловой момент. Можно было бы предположить, что должен существовать какой-то выделенный луч, который можно рассматривать как мировую линию частицы. Однако это не так. Самое большее, что можно сделать — выделить изотропную гиперплоскость П, которая определяется соотношением (В случае массивной частицы этим уравнением действительно определяется единственная времениподобная линия, которую можно отождествить с мировой линией частицы [327].) Все образующие гиперплоскости П равноправны. Существует преобразование Пуанкаре, переводящее твистор в себя и отображающее произвольную точку Р гиперплоскости П в любую наперед

заданную точку этой гиперплоскости. В самом деле, соотношение в силу формулы (6.3.2) эквивалентно равенству а потому на основании формулы (6.1.74) мы получаем солял на П, откуда сол Следовательно, преобразование группы Пуанкаре требуемого вида есть трансляция из Р в с последующим преобразованием Лоренца (фактически изотропным поворотом), переводящим диаду в точке Р в диаду в точке Поскольку твистор полностью определяется заданием его спинорных частей в любой из этих точек, указанное преобразование группы Пуанкаре переводит твистор в себя. Так что в указанном смысле классическая безмассовая частица с ненулевым спиновым моментом оказывается нелокализованной.

Определенный интерес представляет то обстоятельство, что конгруэнция Робинсона, определенная по твистору имеет прямое отношение к структуре момента импульса безмассовой частицы со спином. Ее угловой момент относительно фиксированной точки пространства М определяется спинорами причем ГИН тензора [формула (3.5.18) и далее, а также формулы (3.4.20), совпадают с направлениями флагштоков этих спиноров. Направление флагштока спинора неизменно и совпадает с направлением 4-импульса, а направление флагштока спинора совпадает с направлением конгруэнции Робинсона в рассматриваемой точке.

1
Оглавление
email@scask.ru