Точные последовательности

Чтобы лучше понять ситуацию, связанную с наличием (линейного) калибровочного произвола, полезно связать его с понятием точных последовательностей [325]. Это последовательности отображений между векторными пространствами (или вообще между модулями, абелевыми группами и т. д., хотя нам достаточно рассматривать векторные пространства):

которые либо продолжаются бесконечно в обе стороны, либо оканчиваются с одного или обоих концов нулем (нулевым векторным пространством). Предполагается, что все отображения линейные (над коммутативным кольцом действительных или комплексных С чисел), а также обладают следующими двумя свойствами:

I. Композиция двух последовательных отображений принимает нулевые значения,

Рис. 6.4. Графическое представление точной последовательности, для которой выполняются оба условия I и II, и двух частных случаев, когда выполняется лишь одно из условий. (Если выполняется лишь условие I, то последовательность называется комплексом.)

II. Всякий элемент, который данным отображением переводится в нуль, должен иметь непустой прообраз при предшествующем отображении.

Эти два условия можно объединить; ядро любого отображения (т. е. прообраз нуля — множество элементов, отображающихся в нуль) есть в точности образ предыдущего отображения. Иногда оказывается полезным наглядное представление таких последовательностей в виде диаграмм (рис. 6.4).

Отметим, что если мы имеем точные последовательности

то и есть факторпространство Е по (рис. 6.5). Отметим также, что если задана лишь пара отображений такая, что ядро второго есть образ первого, то, используя дополнительные пространства и отображения, мы всегда можем продолжить это звено до точной последовательности произвольной длины. На основании условия

Рис. 6.5. Простые примеры точных последовательностей:

линейности можно утверждать, что если точная последовательность начинается с нуля, то образом его обязательно будет нулевой элемент, если же она оканчивается нулем, то прообразом его будет все пространство.

Хорошо известный и важный пример точной последовательности дает последовательность (Пуанкаре-)де Рама

где векторное пространство (над R) гладких (-действительных -форм, причем все они определены на некотором С-гладком -мерном многообразии с евклидовой топологией. Отметим, что последовательность оканчивается на пространстве . Отображение сопоставляет действительному числу -форму, которая принимает на постоянное значение Отображения обозначают внешнее дифференцирование (4.3.14). Поскольку константы как раз образуют класс -форм, которые обращаются в нуль оператором условие точности выполняется вплоть до Более того, [формула (4.3.15) (VIII)], а поэтому условие I имеет место вдоль всей последовательности. Благодаря тому что в введена евклидова топология, на каждом шаге из условия следует, что существует функция такая, что в силу (обращенной) леммы Пуанкаре, так что условие II тоже выполняется. Отметим, что уравнение для есть условие интегрируемости уравнения относительно формы . Если же, наоборот, мы рассматриваем условие как «полевое уравнение» для то играет роль «потенциала» для «Калибровочный произвол» в выборе сводится к добавлению величины и, удовлетворяющей условию Такая форма и должна быть представима в виде полного дифференциала формы и, следовательно, возникает «калибровочный произвол второго рода» Этот простой пример показывает, как последовательный анализ калибровочного произвола позволяет смещаться вдоль точной последовательности к ее началу на один шаг на каждом этапе; обратный путь связан с рассмотрением условий интегрируемости.

Для нас будет важна следующая точная последовательность, содержащая только конечномерные векторные пространства:

где пространства постоянных спинорных полей, тип которых определяется видом используемого индекса [265]. Отображение 1 переводит всякое постоянное спинорное поле в твистор Отображение 2 переводит всякий твистор в постоянное спинорное поле

То, что последовательность (6.5.28) точная, очевидно. Очевидна и пуанкаре-инвариантность: всякое отображение (6.5.29) канонически определено как пуанкаре-инвариантное (но не конформноинвариантное); следовательно, оно не изменяется при новом выборе начала отсчета.

Важным свойством точных последовательностей является то, что последовательности, дуальные им, тоже точны, однако отображения действуют в противоположном направлении. Так что в случае векторных пространств Р и дуальных пространствам, входящим в последовательность (6.5.26), мы имеем следующую точную последовательность 2):

Последовательность, дуальная последовательности (6.5.28), имеет вид

где отметим также, что эта последовательность комплексно-сопряжена с последовательностью (6.5.28) (читаемой в обратном направлении).