Явные выражения для функции I

Чтобы записать функцию

в явном виде, достаточно подставить (9.5.41) в (9.5.35). Зная же вид функции I, можно восстановить исходный вид функции - «радиуса вселенной» [формулы (9.5.1)-(9.5.3)]. В случаях можно добиться некоторого упрощения, если ввести величины

где — комплексно-сопряженные величины при и действительные при Укажем, что, согласно формуле

так что

Подставляя это в (9.5.35), мы получаем

а с учетом формул (9.5.2) и (9.5.3) мы можем завершить вычисление заметив, что

где постоянную интегрирования можно зафиксировать, приюта в момент большого взрыва (происшедшего при

Случай пылевых фридмановских моделей с особенно прост:

Это выражение приводит к уже знакомым параметрическим формам

где С — постоянная с размерностью плотности, которой при определяется максимальный радиус вселенной (когда

Толмэновские радиационные вселенные с столь же просты:

Отсюда следует, что

Отметим, что (в случае ) максимальное расширение достигается при а это соответствует отношению Т: V, отличному от получающегося при большом взрыве и большом треске, тогда как в соответствующем случае максимального расширения пылевой фридмановской модели и большой взрыв, и большой треск благодаря квадратным корням, появляющимся, согласно формуле (9.5.43), при переходе к происходят при одном и том же значении отношения (а именно, при так что, как уже отмечалось, все эти области на М будут совпадать.

Лишь немногим сложнее получить функцию в случае космологических моделей с идеальной жидкостью и показателем политропы у [362]; она оказывается пропорциональной выражению

(Авторы признательны К. Тоду за это выражение.)