§ 3 (гл. 3). Операции симметрии

Операцию симметризации индексов мы, как это принято, обозначаем круглыми, а операцию антисимметризации — квадратными скобками. Индексы, выделенные вертикальными черточками, не включаются в (анти-) симметризацию. Если выражение содержит две пары скобок, расположенных одна внутри другой, то сначала выполняется операция внутренней скобки, а над полученным расположением индексов (за исключением тех, которые отделены вертикальной чертой) выполняется дальнейшая (анти-) симметризация. [Строго говоря, такие обозначения избыточны, но они могут быть очень наглядными в записи доказательств; см., например, формулу (4.3.17).] Хотя скобками обычно обозначают симметризацию индексов отдельных тензоров или спиноров, ими можно также обозначать

подпространства модуля на которые накладываются дополнительные требования (анти-)симметрии. Так, например,

Полезны различные элементарные результаты, касающиеся свойств симметрии. Например (греческими буквами обозначены -мерные абстрактные тензорные индексы):

Предложение

Следовательно,

Функцией однозначно определяется тензор

Комбинируя операции симметризации и антисимметризации, можно построить тензор с симметрией схемы Юнга, который, следовательно, будет (точечно) неприводимым относительно группы общих линейных преобразований (оставляющих данную точку неподвижной). Некоторые вопросы теории схем Юнга рассматриваются в обширном «примечании», начинающемся на

с. 186 т. 1. В частности, тензор с симметрией схемы Юнга в варианте, в котором выделяются группы невозрастающей длины симметризованных (а не антисимметризованных) индексов, может быть представлен однородным полиномом содержащим невозрастающие степени переменных . [В этом случае следствие (3.3.23) применяется к каждой симметричной группе индексов тензора Данное свойство схемы (т. е. «скрытое насыщение антисимметриями») может быть выражено соотношениями

(переменная, стоящая первой, сворачивается с последующим оператором производной по индексу переменной дифференцирования). В этом случае Р можно представить как функцию лишь антисимметризованных произведений вида (переменные располагаются в алфавитном порядке, начиная с Альтернативная формулировка основного свойства схемы такова: всякая дополнительная симметризация тензора по индексам, содержащим полную группу симметризованных индексов и один индекс из какой-либо другой группы симметризованных индексов, обращает его в нуль. Если в таком тензоре число групп индексов превышает (т. е. число векторов-переменных

превышает где размерность пространства, то Это следует из «скрытой антисимметрии» групп, содержащих более индексов, в тензоре

В случае спинорных индексов мы имеем следовательно, антисимметризация группы, содержащей более двух индексов, дает нуль. Более того, в силу равенства (2.5.24) группа из двух индексов всегда может быть «отделена» в виде е-символа. Поэтому достаточно рассматривать лишь вполне симметричные спиноры. Спинор, содержащий как штрихованные, так и нештрихованные индексы в нижней позиции, будет неприводимым [точечно неприводимым по отношению к ограниченной группе Лоренца, или, более корректно, по отношению к спиновой группе если он вполне симметричен как по всем штрихованным, так и по всем нештрихованным индексам. Число независимых компонент такого спинора определяется следующим предложением.

Предложение

Если спинор симметричен и имеет валентность то число его независимых (комплексных) компонент равно

Здесь символ валентности означает, что соответствующий спинор содержит верхних нештрихованных, верхних штрихованных, нижних нештрихованных и нижних штрихованных индексов. В случае когда или , условие неприводимости формулируется так: необходима не только симметрия по всем четырем группам индексов, но и равенство нулю всех сверток между верхними и нижними индексами (что эквивалентно полной симметрии, когда все индексы опущены). Подсчет компонент, согласно предложению (3.3.62), в этом случае дает