§ 4. Четырехзначность твисторов и индекс Гржина

Итак, благодаря рассмотренному выше соответствию возможно изящное описание комплексной конформной геометрии пространства на основе комплексной проективной геометрии пространства . В случае действительной конформной геометрии пространства М комплексную проективную геометрию пространства нужно дополнить эрмитовым [сигнатура отношением дуальности обеспечивающим взаимный обмен точек и плоскостей пространства иначе говоря, необходимо знать положение пяти (действительно) мерной гиперповерхности в . Симметрии пространства которые сохраняют эту структуру, индуцируют конформные движения пространства М в себя, а значит, соответствуют элементам группы Эти симметрии получаются из линейных преобразований пространства Т. Если они сохраняют не только (т. е. локус но и фактическое значение -эрмитовой формы и к тому же нормированы так, что их детерминант равен единице, то эти преобразования составляют группу [двойки соответствуют частям сохраняемой эрмитовой формы]. Указанная нормировка не определяет это преобразование однозначно по его действию на она оставляет четырехкратную неоднозначность, ибо скалярное произведение единичного элемента на любую из четырех величин является элементом группы дающим единичный элемент на Как мы скоро узнаем, все эти элементы связаны с единичным элементом, так что неопределенность существенна. Итак, имеет место локальный -изоморфизм группы на группу Поскольку наша твисторная конструкция приводит к пространству, на котором действие группы О (2,4) представляется кососимметричными (соответствующим образом антисимметризованными), тензорное произведение двух элементов группы можно интерпретировать как элемент группы [и группы О(2,4)]. Это приводит к -локальному изоморфизму группы на группу О (2,4). который, если его скомбинировать с (9.2.10), показывает, что -отображение из в С (1,3) можно составить из

двух -локальных изоморфизмов (каждый из которых является «изоморфизмом на»):

Четырехкратная неоднозначность пространственно-временного описания твистора

Указанное -соответствие между твисторной группой и пространственно-временной группой имеет ряд любопытных следствий. Так, например, конформно-инвариантное [в смысле инвариантности относительно группы пространственно-временное описание твистора должно быть четырежды неоднозначным. Иными словами, описание твисто-ров основанное на геометрии простран-ства-времени, должно быть одинаковым. На первый взгляд это кажется парадоксальным, поскольку в гл. 6 было дано кон-формно-инвариантное определение твистора как решения твисторного уравнения (6.1.1). Хотя из сказанного в гл. 1, § 5 и следует, что в геометрической интерпретации спинора имеется существенная двукратная (знаковая) неоднозначность, неоднозначность в описаниях спиноров и гсол носит гораздо более тонкий характер и связана с граничной поверхностью Непрерывный пространственный поворот пространства М на переводит частное решение твисторного уравнения (6.1.1) в другое его решение, а именно в а значит, переводит Так как собственные повороты являются элементами группы С (1,3), замкнутый контур в представляющий этот активный поворот на пространства М, соответствует незамкнутой траектории в начинающейся единичным элементом и оканчивающейся отрицательным единичным элементом — . Следовательно, такой поворот переводит Семейство полотнищ флага, представляющее поле сол, конечно, переводится этим поворотом в него же, так что неопределенность знака в геометрическом истолковании твистора представляет собой нечто, с чем мы уже знакомы благодаря анализу, проведенному в гл. 1, § 5.

Чтобы найти причины четырехкратной неоднозначности, необходимо исследовать компактифицированное пространство М. Явный вид траектории в связывающей получим, положив

где 0 — действительная величина, а твистор фиксирован и удовлетворяет единственному условию

Легко убедиться, что преобразования

в самом деле относятся к группе (Сохранение произведения почти очевидно; равенство следует из вида собственных значений Эти преобразования составляют однопараметрическую группу;

а искомая траектория, соединяющая получается при изменении угла от 0 до

Нетрудно убедиться, что преобразования (9.4.1) индуцируют конформное движение пространства М вдоль лучей конгруэнции Робинсона

[Это интегральные кривые изотропного конформного вектора Киллинга, определяемого главной частью твистора см. формулу (6.3.19).] О такого рода движениях говорилось в § 2 [после формулы (9.2.1)] в связи с вопросом о топологической структуре пространства М. При непрерывном изменении величины 0 от 0 до пространство М скользит вдоль этих линий (которые все имеют топологию сферы по самому себе и каждая точка пространства возвращается в исходное положение, пересекая в процессе движения одну из сфер и один раз гиперповерхность Стало быть, чтобы узнать, как элементы группы , в частности, преобразования (9.4.1) влияют на поля в М, нужно выяснить, как ведут себя эти поля при переходе через

Ниже будет показано, что если в качестве поля сол, как и раньше, взять обычное спинорное поле с конформным весом, равным нулю [чтобы обеспечить конформную инвариантность выражения (6.1.1)], то, хотя при приближении к У с обеих сторон величина стремится к конечному пределу, пределы различаются множителем Чтобы описание поля в окрестности точки, принадлежащей поверхности 3, было сходным с его описанием всюду в М, приходится, по-видимому, продолжать через У одновременно двумя различными путями, приводящими к различию как раз в множителе Отсюда следует, что в геометрическом описании твистора поле должно быть

связано не только с но и с . Этим и устраняется кажущийся парадокс, касающийся четырехкратной неоднозначности представления твистора Но нам нужно лучше разобраться в том, что здесь на самом деле происходит.