Представление точек с помощью простых кососимметричных твисторов

Рассмотрим теперь -твистор

где — твисторы, входящие в формулу (6.2.12). Если известно множество (6.2.16), то мы знаем твистор с точностью до постоянного множителя, и наоборот. Следовательно,

точку пересечения плоскостей, определяемую множеством (6.2.16), можно с точностью до произвольного множителя представлять твистором Спинорные части твистора записываются в виде [формулы (6.1.40) и (6.1.42)]:

Напомним, что есть радиус-вектор точки относительно произвольно выбранной «неисключительной» точки.

Полезно рассмотреть твистор дуальный твистору Мы записываем его без звездочки, что не приведет к путанице, так как не существует твисторной метрики, с помощью которой можно поднимать и опускать индексы. Имеем

где — альтернирующие твисторы, определенные в формуле (6.1.63). Из (6.2.18) и (6.1.64) находим

Вычислив твистор, комплексно-сопряженный твистору (6.2.18), по правилу, сформулированному после формулы (6.1.73), находим, что с точностью до множителя твистор совпадает с твистором если заменить комплексно-сопряженной величиной (считая, что — комплексный мировой вектор). Таким образом, условие действительности радиус-вектора можно записать в виде

Отметим, что твистор может быть сопоставлен определенной точке лишь в том случае, когда он является кососимметричным и простым [это означает, что имеет место представление (6.2.17) для некоторых Эти условия можно записать в виде

Второе из них (условие простоты) допускает следующие четыре эквивалентные формы записи с формулами (3.5.30) и

Наконец, в дополнение к (6.2.21) и (6.2.22) мы требуем, чтобы твистор изображающий конечную точку пространства М, удовлетворял условию

где — один из асимптотических твисторов (взаимно дуальных, взаимно комплексно-сопряженных), которые определяются выражениями

Это требование понятно, так как произведение равно и если оно равно нулю, то спиноры пропорциональны друг другу и лучи и X параллельны. То, что величина (а также ) действительно является твистором, явствует из того, что она записывается в виде (6.2.18), где следует положить Можно сослаться и на то, что величина удовлетворяет уравнению (6.1.52).

Поскольку твисторное уравнение конформно-инвариантно, структура твисторного пространства определяется с использованием только конформной структуры пространства М. Комплексное сопряжение и переход к дуальному твистору тоже конформно-инвариантны, а потому все базисные операции твисторной алгебры также обладают этим свойством. (Мы уже проверили это в явном виде в случае твисторного внутреннего произведения Более того, конформно-инвариантны все геометрические понятия, введенные при обсуждении теории твисторов: луч (изотропная геодезическая), световой конус, точка, пересечение и т. д. Конформный множитель метрики пространства (VI нами нигде не использовался. Фактически твисторы можно рассматривать как «редуцированные спиноры» для псевдоортогональной группы действующей в шестимерном пространстве (она сохраняет квадратичную форму, сигнатура которой содержит два плюса и четыре минуса). Эта группа локально изоморфна -параметрической конформной группе пространства Минковского [73, 249], т. е. группе точечных отображений пространствам на себя, сохраняющей конформную структуру этого пространства (гл. 9, § 2). Такие отображения индуцируют линейные преобразования твисторного пространства, которые сохраняют форму а также альтернирующие твисторы. Сигнатура формы имеет вид а это означает, что соответствующая группа в пространстве твисторов есть (группа псевдоунитарных унимодулярных -матриц [40]). Если рассматривать как базисные элементы твисторной алгебры (по аналогии с в алгебре

тензоров), то редуцированная группа, оставляющая также инвариантными локально изоморфна группе Пуанкаре, действующей на М (неоднородной группе Лоренца). Таким образом. введение твисторов обогащает твисторную алгебру в том смысле, что она теперь учитывает метрическую структуру пространства Минковского, а не только его конформную структуру. Действительно, фундаментальную характеристику пространства Минковского — расстояние между двумя точками и в М [формула (1.1.22)] — можно выразить через твисторы отвечающие этим точкам, следующим образом:

где — радиус-векторы точек и (за начало координат можно взять произвольную «неисключительную» точку). Чтобы упростить эту формулу, удобно выбрать нормировку твистора, изображающего точку пространства М, в виде

что эквивалентно отбрасыванию множителя в формуле (6.2.18) или, точнее говоря, выбору

Учитывая соотношение

дуальное равенству (6.2.27), получаем для (6.2.26) следующее простое выражение:

В силу формул (6.2.20) и (6.2.28) коэффициент пропорциональности в соотношении (6.2.21) теперь оказывается равным единице, так что условие действительности вектора принимает вид равенства

Итак, мы сформулировали основные свойства твисторной алгебры, а также показали, как она связана с геометрией пространства Минковского. Целый ряд вопросов остался, правда,

незатронутым, но часть из них будет рассмотрена в гл. 9, § 3. Анализ взаимосвязи между геометрией твисторного пространства и геометрией пространства М дает много плодотворных идей. Заинтересованного читателя мы отсылаем к литературе [239, 265, 361, 141].