§ 4. Симметричные твисторы и безмассовые поля

Обратимся теперь к дифференциальному уравнению (6.1.62) для главной части симметричного бесследового твистора и рассмотрим его замечательную связь с уравнениями для безмассовых полей (4.12.42). Сначала остановимся на случае симметричного спинора содержащего нештрихованных индексов и, следовательно, являющегося главной частью симметричного -твистора и удовлетворяющего уравнению (6.1.62):

[Его частные случаи — уравнения (6.1.1) и (6.1.69).] Если симметричный -индексный спинор удовлетворяющий уравнению (4.12.42), а — некоторое симметричное решение уравнения (6.4.1), то справедливо равенство

[Относительно случая см. формулу (6.4.31).] В скобках стоит новое безмассовое свободное поле со спином так что мы понизили спин на единиц. Хотя такая процедура получения безмассовых полей формально выполнима не только в плоском, но и в кривом пространстве-времени, она оказывается

малоэффективной, если пространство-время не является конформно-плоским, так как условия совместности вида (6.1.6), возникающие для уравнения (6.4.1), допускают только тривиальные решения. (См., однако, гл. 9, § 9.)

Сохраняющиеся интегралы для линейной гравитации

В линеаризованной теории Эйнштейна представляет интерес частный случай, когда [Обобщение для точной теории будет дано с формуле (9.9.16).] Как мы видели в формулах (5.7.4) и (5.7.8), симметричный спинор Фавсо, удовлетворяющий уравнению (4.12.42) в пространстве М, описывает свободное гравитационное поле в пределе слабого поля. Таким образом, спинор

с любым симметричным решением уравнения (6.1.69) удовлетворяет уравнениям Максвелла в вакууме (5.1.57), хотя он может не иметь никакого отношения к электромагнетизму. Предположим теперь, что в конечной части пространства расположены источники поля Фавсо, окруженные вакуумом. «Максвеллово» поле тоже должно иметь источники в этой области, так как оно удовлетворяет уравнениям для свободного поля одновременно с В теории Максвелла существует хорошо известный способ вычисления заряда источника как электрического, так и магнитного (если последний считать теоретически возможным). Мы хотим вычислить этим способом чтобы получить информацию об источниках поля Полученные результаты, как мы увидим, позволяют дать определение 4-импульса и тензора момента импульса этих источников.

Указанный способ вычисления заряда основан на фундаментальной теореме внешнего исчисления (4.3.25) и состоит в том, что полный заряд находят, вычисляя интеграл по замкнутой 2-поверхности охватывающей источник. Пусть — вектор тока, описывающий источник поля Максвелла Тогда полный заряд в (пространственноподобном) 3-объеме Т дается выражением

где использованы обозначения (4.3.20), (5.9.5) для дифференциальных форм. (Заметим, что если Т отвечает выбору сечения а в пространстве М введены стандартные координаты Минковского, то это выражение переписывается в виде Уравнение Максвелла

совместно с формулой (4.3.25) дает

где — граница компактного объема Данное выражение можно переписать в виде

где как и в формулах (3.4.20) и (3.4.22), эквивалентно эквивалентно и т. д. Аналогично, если бы система обладала «магнитным зарядом» его можно было бы вычислить по формуле

так что

Интеграл (6.4.4) есть следствие уравнений Максвелла в пустом пространстве, он не меняется при деформации поверхности в области, не содержащей источников. (В частности, он не меняется во времени, если «заряды» не пересекают поверхность в чем находит выражение закон сохранения «заряда».) В самом деле, если деформируется до и при этом заметает 3-объем У, то мы имеем и указанное свойство следует из нашей формулы, так как на

Применим эти результаты к полю причем роль будет играть действительный бивектор отвечающий полю [формула (3.4.38)]:

Соответственно всякому симметричному решению уравнения (6.1.69) при заданном поле мы получаем один комплексный «интеграл заряда», т. е. две действительные сохраняющиеся величины. Мы видели, что симметричное решение уравнения (6.1.69) дается четвертым равенством (6.1.51) с дополнительным условием (6.1.66). Следовательно, оно определяется десятью комплексными независимыми величинами: тремя компонентами четырьмя компонентами а также тремя

компонентами Таким образом, мы получаем 10 независимых комплексных интегралов, т. е. 20 независимых действительных интегралов, для поля

Но физический смысл этого поля таков, что должно быть лишь 10 независимых действительных сохраняющихся величин, а именно четыре компоненты импульса и шесть компонент тензора углового момента источника. И на самом деле оказывается, что 10 независимых действительных зарядов из 20 перечисленных выше равны нулю при условии, что поле выражается через симметричный тензор по формуле (5.7.12). В § 5 мы увидим, что этот вывод прямо следует из существования во всем объеме Т тензора , который обладает симметриями тензора Римана, удовлетворяет тождествам Бианки и на поверхности Ф сводится к виду (5.7.8) с заданным полем Роль источника играет тензор который определяется формулой (5.7.6). Десять остающихся независимых интегралов даются комплексными компонентами спинора и четырьмя действительными компонентами суммы Интегралы, которые обращаются в нуль, содержат величины Эти вопросы рассматриваются также в работе [301].

Может показаться странным, что интегралы, которые обращаются в нуль, представляют собой вклад как раз тех спинорных частей твистора которые остаются, когда он редуцируется до твистора т. е. принимает вид (твистор момента импульса), так что это как раз те части, которые непосредственно интерпретируются как 4-импульс и тензор момента; в то же время интегралы, дающие полный 4-импульс и момент импульса, на самом деле определяются «остальной» частью твистора Этот кажущийся парадокс мы объясним позже (стр. 110, 116).

Далее нам понадобится тензорный вариант записи соотношения (6.1.69) для случая симметричного поля

где — кососимметричный тензор, который определяется выражением

Эквивалентность уравнений (6.4.6) и (6.1.69) доказывается прямой подстановкой выражения (6.4.7) в уравнение (6.4.6). Общее решение уравнения (6.4.6) имеет вид

где постоянные тензоры, которые определяются следующими соотношениями:

Решение (6.4.8) получено преобразованием соответствующего спинорного выражения с использованием формулы (3.4.53) и т. д.

Точно так же как свертка с флвсо дает безмассовое поле со спином 1, свертка с — тензорным аналогом спинора Фавсо [формула (5.7.8)] — дает кососимметричный двухиндексный тензор, удовлетворяющий уравнениям Максвелла в вакууме. В самом деле, в силу формул (5.7.8) и (6.7.4) имеем

где дается формулой (6.4.3). Поскольку поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в вакууме, записанным в спинорной форме, наше утверждение можно считать доказанным.