Свойства нормы на J+

Наша процедура определения величины такова: мы строим, как и раньше, выражение (9.9.24) и исследуем его постоянство на применяя оператор Удобнее, правда, взять выглядящую несколько более общей (но, в сущности,

эквивалентную) «поляризованную» форму выражения (9.9.24)

С учетом формулы (9.8.89) короткие выкладки дают выражение

Отметим, что оно обращается в нуль, если срез чисто электрический [формула (9.8.93)], как все срезы гиперповерхности в случае пространства М (или в случае стационарного пространства ). Таковыми являются неконтортные срезы гиперповерхности

Когда величина (9.9.45) действительно обращается в нуль, можно показать [формула (4.15.60)], что выражение и в самом деле постоянно на 9 так что мы получаем хорошее определение величины а следовательно, и величины (9.9.21). Поскольку имеет на конформный вес, равный нулю, свойство постоянства этого выражения оказывается инвариантным относительно конформных изменений масштаба (9.8.13). Но если величина (9.9.45) не равна нулю (а это обычная ситуация для контортных 9), то не будет конформно-инвариантной операция усреднения на т. е. выделения части этого выражения, соответствующей значению ибо, как следует из сказанного в т. 1, гл. 4, § 15, эта операция могла бы быть инвариантной только для величин с конформным весом, равным —2; для всех других весов части с большими значениями при конформных преобразованиях перемешиваются с частью этого выражения, соответствующей значению

Вскоре выяснится, что все-таки есть (пусть не очень удовлетворительный) способ обойти эту трудность. Предварительно заметим, что если либо либо то правая часть соотношения (9.9.45) обязательно равна нулю. Таким образом, всякий раз, когда либо либо относится к эрмитово скалярное произведение приобретает совершенно точный смысл. А это говорит о вполне корректном определении отображения которое мы будем обозначать так:

Оно характеризуется следующим свойством. Если для каждого построить с помощью левого члена отображения хорошо определенную величину

[полученную из постоянного выражения (9.9.37)], то мы получим тот же результат, что и в случае, когда мы построим с помощью правого члена отображения хорошо определенное скалярное произведение

[в результате подстановки ] в (постоянное теперь) выражение Приравняв эти выражения, мы получим отображенияе (9.9.46) и, как легко проверить, это достигается с помощью отображения