Асимптотически-простое пространство-время

Итак, мы уяснили структуру конформной бесконечности в случае пространства Минковского. Но такая структура может возникать и в асимптотически-плоском пространстве-времени многих других видов. Начнем с более общей метрики вида

где — координаты, — достаточно гладкие (всюду, включая точку ) функции переменных Полагая получаем

При условии

метрика (9.6.9) будет идеально регулярной в точке Следовательно, пространство-время с метрикой (9.6.8) будет обладать конформной бесконечностью.

Многие метрики, исследуемые в связи с гравитационным излучением, фактически имеют форму (9.6.8). В частности, это относится к оригинальным метрикам, построенным Бонди с

сотрудниками [26, 27, 298, 296, 224]. Эти метрики описывают (асимптотически евклидово) пространство-время с источниками и уходящим гравитационным излучением. В таких пространствах может присутствовать и приходящее гравитационное излучение (соответствующим образом уменьшенной длительности). Кроме того, в них может быть негравитационное (например, электромагнитное или нейтринное) излучение безмассового поля. Во всех этих случаях следует ожидать существования изотропной конформной бесконечности будущего . В случае обращенного времени можно ожидать существования Возможен также довольно обширный класс «физически приемлемых» ситуаций, в которых могут существовать обе бесконечности Правда, высказывалось (см., например, работу что допущение существования границы может оказаться излишне жестким ограничением поведения уходящего излучения в бесконечно отдаленном прошлом. Можно даже привести примеры с бесконечными цугами волн, в которых не может быть одной из границ или обеих. Но вопрос о «физической приемлемости» таких вариантов зачастую оказывается делом вкуса. Сама по себе асимптотическая евклидовость (flatness) является некой математической идеализацией; математическое удобство и простота описания представляют собой важные критерии отбора подходящей идеализации.

Асимптотически плоские пространства-времена рассматриваемого здесь типа образуют наиболее важный подкласс таких пространств-времен. Пространства-времена, относящиеся к этому подклассу, называются (слабо) асимптотически простыми [234, 237]. Пространство де Ситтера и некоторые пространства, являющиеся асимптотически деситтеровскими, тоже попадают под это название. Определение асимптотически простого пространства-времени таково.

Определение

Пространство-время с метрикой называется -асимптотически простым, если существуют гладкое (класса многообразие с границей имеющее метрику скалярное поле и граница такие, что

— поля, всюду гладкие (класса

на границе

д) всякая изотропная геодезическая в достигает концевых точек будущего и прошлого на

Точная степень дифференцируемости на У зачастую не будет нас интересовать (в большинстве случаев достаточно иметь Условие гарантирует, что граница описывает всю изотропную бесконечность. (Если бы его не было, то под данное определение подходило бы любое гладкое пространство-время с Однако в некоторых случаях условие оказывается слишком жестким — например, при исследовании черных дыр; даже вне шварцшильдовского горизонта существуют круговые (фактически спиральные) изотропные орбиты с которые, подобно аналогичной (но не геодезической) изотропной кривой, рассмотренной в конце § 1, не достигают границы Чтобы такие ситуации не оказались неохваченными, приходится смягчать условие Так, например, слабо асимптотически-простое пространство-время — это пространство, которое допускает конформную бесконечность асимптотически простого пространства-времени, но может допускать и другие «бесконечности»; точнее говоря, для таких пространств существует асимптотически-плоское пространство М, такое, что в окрестности границы в кусок изометричен подмножеству пространства Но и в таком виде данное условие может оказаться не вполне удовлетворительным [103], поскольку не сделано никаких предположений относительно «физической приемлемости» вспомогательного пространства Гипотеза асимптотической простоты весьма плодотворна в основном, лишь когда она дополнена эйнштейновскими уравнениями поля (с «физически приемлемыми» источниками); достаточно мягко ужесточить условие «слабой асимптотической простоты» можно, наложив подходящие (но намного более мягкие) ограничения «физической приемлемости» не только на но и на (например, вполне достаточно слабого энергетического условия или условия изотропной сходимости на требующего, чтобы для любого изотропного вектора выполнялось соотношение Один из предложенных альтернативных подходов

[101, 103] сводится к наложению определенных дополнительных условий непосредственно на структуру границы — например, (сильного) асимптотического эйнштейновского условия [формула (9.6.21) и текст после формулы (9.6.37)] или требования бесконечной протяженности [определение (9.8.1)] образующих изотропной границы 9 — но априори не ясно, какими должны быть эти ограничения. Мы такого рода условия вводить не будем. Удивительно, сколько сложной и важной асимптотической структуры привносится, если весьма мягкое условие (слабой) асимптотической простоты пространства дополнить всего лишь требованием, чтобы в некоторой окрестности границы в выполнялись (вакуумные) уравнения Эйнштейна.

Для большей общности будем рассматривать эти уравнения с космологическим членом. Кроме того, до поры до времени предположим, что в окрестности границы есть какие-то безмассовые материальные поля. [В случае скалярного безмассового поля будем пользоваться конформно-инвариантным вариантом (6.8.30) с тензором энергии (6.8.36).] Тогда , пользуясь уравнениями Эйнштейна (4.6.32), мы вблизи границы 9 получим

(слова «вблизи границы 9» означают на пересечении для некоторой окрестности границы 9 в пространстве Ж). Формула (6.8.22) вблизи границы дает

(относительно последнего члена этой суммы напомним, что в соответствии с правилом т. 1, гл. 5, § 6 индексы величин со «шляпками» поднимаются с помощью тензора а опускаются с помощью Ввличина была введена в формуле (6.8.12). Из условия (9.6.12) вблизи границы 9 следует равенство

откуда в результате трансвекции выражения (9.6.13) с метрикой вблизи границы 9 получаем

На границе конформный множитель равен нулю, а его производные со «шляпкой» и все компоненты тензора кривизны со «шляпками» в силу требования «в» определения (9.6.11) с 62 конечны (непрерывны). Так что, положив

(знак минус взят для удобства в последующем), получим

Согласно требованию «г» определения (9.6.11), мы имеем на , будучи ортогональным каждому локусу вектор определяет нормаль к границе в каждой ее точке. Таким образом, при уравнение (9.6.17) приводит к следующему предложению.

Предложение

Если след тензора энергии вблизи границы равен нулю, то граница пространственноподобна, времениподобна или изотропна в зависимости от того, положительна, отрицательна или равна нулю космологическая постоянная К.

Оно справедливо при несколько более мягких условиях [237].

Когда граница пространственноподобна или изотропна, она состоит из двух кусков Точка границы 3 лежит на гиперповерхности если внутренняя часть ее светового конуса прошлого [будущего] лежит в Следовательно, точки гиперповерхности можно характеризовать структурами в а именно как (см. случай пространства Минковского в § 1). Во времениподобном случае всякая точка границы проявляется и как и как До недавнего времени казалось, что времениподобный случай наименее интересен с физической точки зрения. Примером такого случая может служить антидеситтеровское пространство (см. § 5), но оно никогда всерьез не рассматривалось как модель реальной космологической структуры. Стандартные космологические модели с — это все модели с фазами расширения и коллапса и сингулярными началами и концами, с которых ни один луч не достигает бесконечности. Обычное деситтеровское пространство имеет пространственноподобные граничные гиперповерхности вследствие чего, как уже упоминалось в § 5, в нем имеются горизонты частиц и горизонты событий.

Мы видели, что горизонты могут соответствовать также сингулярным (а не регулярным) граничным точкам, примером чему служат горизонты частиц во всех стандартных моделях с большим взрывом. Ряд таких пространств-времен могут подходить под определение (9.6.11), но с соответствующим образом модифицированными условиями «в» и «г»: стандартный большой взрыв соответствует пространственноподобной граничной гиперповерхности

Существование двух разъединенных частей границы 3, когда она пространственноподобна или изотропна, позволяет уточнить требования дифференцируемости в случае (слабой) асимптотической простоты. Будем говорить, что пространство [слабо] (-асимптотически простое, если на гиперповерхности выполняются условия [слабой] -асимптоти-ческой простоты, а на гиперповерхности — условия [слабой] -асимптотической простоты. (При решении задачи о гравитационном излучении иногда делают допущение различия в свойствах дифференцируемости на Если нас интересует только дифференцируемость на то можно говорить о [слабой] -асимптотической простоте будущего (и о соответствующем понятии для

Наибольший интерес представляет случай изотропной границы ибо он существен при анализе асимптотически-плоских пространств-времен. Справедлива следующая теорема [237, 100],

Теорема

В любом асимптотически-простом пространстве-времени со всюду изотропной границей У каждая из гиперповерхностей имеет топологию

а лучи, которые являются образующими гиперповерхности могут быть взяты в качестве множителей этого топологического произведения.

Таким образом, каждая из гиперповерхностей содержит изотропных образующих и топология этих гиперповерхностей почти идентична топологии пространства Минковского. Заметим, что две точки гиперповерхности лежат на одной и той же образующей в том и только в том случае, когда одно из соответствующих [или содержит другое. Этим асимптотически-простое пространство-время с изотропной границей и отличается от асимптотически-плоского пространства-времени с пространственноподобной границей У.

Вакуумные уравнения; асимптотическое эйнштейновское условие

Чтобы сделать более конкретные выводы о структуре границы предположим, что вблизи границы выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна. Если принять вблизи границы 9 другую, более общую систему уравнений, скажем уравнения Эйнштейна — Максвелла, то следствия будут почти такими же, но получить их будет значительно сложнее [237]. Поэтому при исследовании свойств границы 3 мы ограничимся вакуумными уравнениями Эйнштейна. При наличии же материальных полей мы просто примем, что эти свойства границы 9 по-прежнему имеют место.

Из выражения (6.8.24), являющегося бесследовой частью тензора (9.6.13), следует соотношение

Вакуумные уравнения Эйнштейна, учитывающие возможность существования космологической постоянной, принимают форму Поэтому, умножив обе части равенства (9.6.20) на и заметив, что тензор должен быть непрерывным на границе (и полагая мы получим следующее важное уравнение, которое (вне зависимости от выполнения вакуумных уравнений) будем называть асимптотическим эйнштейновским условием:

Здесь введено обозначение «слабого равенства»

Его следует понимать так, что тензорные или спинорные поля на равны, когда они ограничены на 9, т. е. что на границе 9. При дифференцировании слабого равенства следует помнить, что новое слабое равенство можно получить, только если брать тангенциальные производные. Так, из слабого равенства (9.6.22) следует слабое равенство

но не следует слабое равенство . В дальнейшем мы можем опускать фразу «вблизи границы всюду, где используется обычный знак равенства («строгое равенство»), так как при этом предполагается, все все выкладки выполнены в некоторой окрестности границы в пространстве

Очевидно, что операция ковариантного дифференцирования строгого равенства между величинами (гладкости ) будет корректной всегда и ведет к новому строгому равенству. Отметим очевидное слабое равенство

Кроме того, теперь можно переписать соотношение (9.6.17) в виде

Асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.21) можно записать в форме

Эти слабые равенства показывают, что векторы бессдвиговые [и без вращения, но это следует непосредственно из определения (9.6.16)]. В случае изотропной границы Э можно положить

где А — отличный от нуля скаляр, положительный на гиперповерхности и отрицательный на Тогда, свернув первое слабое равенство в (9.6.26) с и воспользовавшись стандартными обозначениями спиновых коэффициентов из т. 1, гл. 4, § 5 (со «шляпками»), получим

[Кроме того, можно получить слабые равенства которые являются лишь иной формулировкой факта изотропности гиперповерхностей см. формулу (7.1.58) и далее.] Слабое равенство (9.6.28) является условием бессдвиговости для изотропной гиперповерхности. В силу изложенного в гл. 7, § 1 (см. рис. 7.2) из него следует формулируемое ниже предложение.

Предложение

Если вблизи границы , то любые два сечения гиперповерхностей конформно отображаются друг на друга образующими гиперповерхностей

Согласно теореме (9.6.19), все эти сечения имеют топологию сферы так что два пространства-множителя в топологическом произведении, точки которых представляют различные образующие гиперповерхностей являются конформными сферами. Можно привлечь классическую теорему Римана,

чтобы в результате изменения масштабов привести две эти метрики к метрике единичной евклидовой 2-сферы, а затем при желании можно предположить, что наш исходный выбор конформного множителя был сделан уже с учетом этого. Если на евклидовой 2-сфере ввести сферические полярные координаты или эквивалентную стереографическую координату

то метрику, индуцированную на гиперповерхности можно записать в виде

где и — координата запаздывающего времени. Соответствующая метрика на получается при замене координаты и координатой опережающего времени Поскольку метрика сечения представленная формулой (9.6.31), не меняется вдоль образующих этой гиперповерхности, в дополнение к а мы получаем (см. рис. 7.2).