Твисторы гиперповерхности

Рассмотрим теперь пространство и выделим естественную КД-структуру, индуцированную в нем пространственноподобной гиперповерхностью (По предположению гиперповерхность согласована с рассматриваемой областью в так, что каждый луч, отвечающий точкам этой области, пересекает данную гиперповерхность один и только один раз.) Касательное пространство в точке образовано лучами, «соседними» с Голоморфное касательное пространство в точке (рассматриваемое как действительное

Рис. 7.5. Всякому выбору (пространственноподобной) гиперповерхности в можно сопоставить некоторую КД-структуру на Эта структура зависит от положения если только пространство не конформно-плоское.

четырехмерное векторное пространство) оказывается состоящим из соседних с изопараметрических лучей. На самом деле такая структура определяется инвариантной контактной структурой пространства безотносительно к выбору гиперповерхности

Роль гиперповерхности состоит в том, чтобы определить действие оператора 1 на и тем самым наделить это пространство структурой комплексного двумерного векторного пространства. Пусть Р — точка пересечения луча Определим П как элемент 2-плоскости в Р, касательный к гиперповерхности и ортогональный лучу Рассмотрим луч соседний с и изопараметрический ему, и возьмем вектор девиации принадлежащий элементу П. Для определения луча требуется знать не только вектор но и величину . В силу формулы (7.1.14) имеем так что вектор должен быть ортогонален вектору Изменив масштаб (scaling) на луче мы можем добавить к вектор с произвольным множителем так, чтобы полученный новый вектор лежал в плоскости П. Таким образом, различным соседним с изопараметрическим лучам указанного типа, т. е. различным точкам пространства ставятся в соответствие свои значения векторов лежащих в плоскости П. Тогда действие оператора (рис. 7.5) сводится к повороту на прямой угол

[в отрицательном направлении вокруг пространственной проекции вектора ] векторов в плоскости П [261].

На рис. 7.2 видно, что пучок соседних с изопараметрических лучей будет бессдвиговым в точке Р в том и только в том случае, если он инвариантен по отношению к действию оператора определенного выше. Первые две диаграммы на рис. 7.2, изображающие конгруэнцию при наличии сходимости и вращения, инвариантны относительно поворота на прямой угол, тогда как третья, отвечающая наличию сдвига, этим свойством не обладает. Если бы при таком определении операции она вводила на реализуемую КД-структуру, то можно было бы доказать теорему о конгруэнциях лучей, бессдвиговых на пересечении с гиперповерхностью типа теоремы Керра.

Оказывается, что операция действительно удовлетворяет условиям интегрируемости для КД-структуры (реализуемой, если гиперповерхность вкладывается аналитически в аналитическое пространство-время ). Прямое доказательство этого было дано Ле-Брюном [181] и Брайантом 2). Здесь мы наметим схему другого доказательства, которое в аналитическом случае дает требуемое комплексное многообразие явно. Пространство вкладывается в него как действительная гиперповерхность и наследует требуемую КД-структуру.

Многообразие будем называть пространством твисторов гиперповерхности . В том случае, когда удовлетворяет в определенным условиям аналитичности, оно может быть получено следующим образом. (Подробнее см. в работах [250, 261].) Сначала, комплексифицируя гиперповерхность а также в окрестности этой гиперповерхности (т. е. выбирая локально-аналитические координаты и полагая, что они принимают комплексные значения с малой мнимой частью, см. гл. 6, § 9, с. 156), получаем несколько «утолщенные» комплексные многообразия Далее рассмотрим комплексные линии в называемые -кривыми, касательные векторы к которым (изотропные, комплексные) имеют вид

где нормаль к гиперповерхности причем спинор о с переносится вдоль кривой параллельно:

Уравнение (7.4.52) сводится к обычному дифференциальному уравнению, определяющему -кривые.

Значение вектора (7.4.51) в том, что он автоматически является ортогональным нормали , следовательно, касательным к пространству а также допускает представление вида . В плоском или конформно-плоском (комплексном) пространстве-времени -плоскости [см. текст после формулы (7.4.10), а также гл. 9, § 3] будут вполне изотропными комплексными 2-поверхностями, касательные векторы к которым имеют тот же вид, причем в каждой точке, считая спинор фиксированным и варьируя мы получаем все касательное пространство. Если в каждой точке -плоскости выбрать спинор специальным образом, а именно с помощью процедуры параллельного переноса, то полученным полем будет определяться -твистор. Формулы (7.4.51) и (7.4.52) дают проекцию указанных свойств на гиперповерхность так что, например, в случае конформно-плоского пространства решениями уравнения (7.4.52) будут кривые, являющиеся пересечениями гиперповерхности с -плоскостями, которые отвечают -твисторам в . В общем случае, ввиду того что мы оперируем только с голоморфными величинами, решения уравнения (7.4.52) образуют комплексное 4-многообразие, совпадающее с искомым пространством Сами -кривые есть точки комплексного 3-многообразия Параметр, связанный с параллельно переносимым спинором дает недостающее комплексное измерение в пространстве Элементы этого пространства [или пространства имеют смысл [проективных] твисторов гиперповерхности.

Соответствующее пространство правильнее было бы обозначать символом в отличие от пространства которое строится с помощью векторов

касательных к комплексным -кривым в пространстве причем параллельно переносится штрихованный спинор

Комплексное сопряжение отображает -кривые в -кривые и переводит пространство в него же.

Всякая -кривая, которая содержит действительную точку (точку гиперповерхности Ж), должна пересекаться с

Рис. 7.6. Связь между твисторами гиперповерхости, дуальными твисторами гиперповерхности и изотропными геодезическими. Вообще говоря, не существует простого соответствия между -кривыми на различных гиперповерхностях. Это связано с тем, что КД-структура, показанная на рис. 7.5, в общем случае зависит от положения гиперповерхности

комплексно-сопряженной -кривой в этой точке, поскольку это неподвижная точка операции комплексного сопряжения. (Если пространство достаточно «тонкое» и гиперповерхность — пространственноподобная, то -кривая пересекается с сопряженной а-кривой только в таких точках.) Элементы пространства [или которые отвечают -кривым (или -кривым, пересекающим Ж), называются изотропными (проективными) твисторами гиперповерхности, и то же относится к элементам пространства [или ] для -кривых, пересекающих Пространства изотропных твисторов обозначаются через [или [или ] соответственно.

Чтобы связать все с изложенным ранее, заметим, что в точке Р пересечения -кривой с сопряженной ей -кривой (случай изотропного твистора гиперповерхности) мы можем положить

(так как при комплексном сопряжении спинор переходит в Далее, мы определяем как луч (с масштабом, задаваемым посредством спинора направление которого в точке Р определяется вектором (рис. 7.6). Таким образом, пространство [или ] можно локально отождествить с и оно дает требуемую КД-структуру. Отметим, однако, что эта КД-структура зависит от выбора гиперповерхности и (если не считать случая конформно-плоского пространства Ж), вообще говоря, изменяется, если изменяется положение гиперповерхности в . При этом согласование с

инвариантной контактной структурой пространства остается (в том смысле, что голоморфные касательные пространства по-прежнему переходят в пространства изопараметрических лучей, хотя их комплексная структура меняется).

Важное свойство этих конструкций — конформная инвариантность:

Предложение

Пространства и а также формы и описывающие инвариантную контактную структуру, не изменяются при конформном изменении масштаба метрики многообразия котором выбрано преобразование

Доказательство. Конформная инвариантность пространств следует из того, что при выбранном масштабном преобразовании мы имеем

в силу формул (5.6.2), (5.6.14) и (5.6.15), так что определяющее их уравнение (7.4.52) не изменяется. Инвариантность форм и 2 при конформном изменении масштаба следует из их инвариантности при переносе вдоль луча поскольку, например, из формулы (7.4.56) видно, что условие параллельного переноса спинора вдоль луча не зависит от выбора масштаба на луче . В самом деле, изменение масштаба вблизи одной точки луча не может, очевидно, привести к изменению значений рассматриваемых форм в удаленных точках. Инвариантность формы явствует также из выражения (7.4.27), поскольку мы имеем а инвариантность формы 2 тогда следует из соотношения (7.4.35).

Используя гиперповерхность можно дать следующую формулировку теоремы Керра:

Если все рассматриваемые величины аналитичны, то конгруэнция лучей будет бессдвиговой на пересечении с гиперповерхностью при том и только при том условии, что она определяется равенством нулю [однородной] голоморфной функции на [или ].

Таким образом, конгруэнции, бессдвиговые на гиперповерхности получаются как пересечение комплексной (голоморфной) гиперповерхности в с (рис. 7.7). С точки зрения геометрии КД-структуры на (см. рис. 7.5) это означает, что такое пересечение (КД-гиперповерхность) должно иметь касательные пространства, пересечения которых с пространством инвариантны относительно операции I.

Рис. 7.7. Теорема Керра в искривленном пространстве-времени, сформулированная с использованием гиперповерхности Конгруэнция лучей, которая на пересечении с имеет нулевой сдвиг, соответствует (в аналитическом случае) пересечению комплексно-аналитической поверхности в с пространством

Последнее утверждение соответствует тому, что конгруэнция будет бессдвиговой на . Подробное доказательство этих утверждений проводится путем рассуждений, аналогичных представленным выше.