8. Классификация тензоров кривизны

§ 1. Изотропная структура спинора Вейля

Один из наиболее ярких и убедительных примеров, показывающих эффективность спинорного метода в общей теории относительности, — спинорная классификация тензора Вейля [41, 232, 233]. Эта классификация существенно упрощает (в прошлом более известную) классификацию вейлевского тензора кривизны, предложенную Петровым [271, 272] (см. также работы [273, 195, 172] и литературу, цитируемую в них). Согласно определению (4.6.41), тензор Вейля (т. е. тензор кривизны пустого пространства) представляется в виде вполне симметричного спинора . В предложении (3.5.18) было показано, что любой (ненулевой) вполне симметричный спинор валентности можно единственным (с точностью до коэффициентов при множителях и порядка множителей) образом представить в виде симметризованного произведения спин-векторов. Направления флагштоков последних являются главными изотропными направлениями (ГИН) указанного симметричного спинора, которые (с точностью до комплексного масштабного множителя) определяют этот спинор единственным образом. Картина совпадений, имеющих место среди ГИН, и дает классификационную схему для спиноров. В данной главе мы подробно рассмотрим вопрос о применимости такой классификационной схемы к спинору и о ее связи с геометрией и алгеброй гравитационного поля. В двух последних параграфах мы покажем, как обобщить эту схему, чтобы ее можно было применять к любым симметричным спинорам, в частности к спинору Риччи (т. е. бес-следовому тензору Риччи).

ГГИН и их кратности

Будем рассматривать только одну точку Р пространства-времени. Каноническое разложение спинора в точке Р имеет вид

Гравитационные поскольку они являются направлениями фрагштоков спиноров , можно найти, согласно формуле (3.5.22), если отыскать нули полинома

выбрав произвольную спиновую систему отсчета и приняв, что спинор имеет компоненты Кратностям множителей в разложении (8.1.2) соответствуют кратности ГГИН. Таким образом, зная пять величин с формулой (4.11.6)], можно сразу же установить положение ГГИН и выявить их совпадения. Напомним, что величины можно выразить непосредственно через тензор Римана и изотропную тетраду [формула (4.11.9)]. Все это дает возможность строить исходя непосредственно из тензорных выражений для кривизны.

Вместо этого можно воспользоваться тензорными выражениями таблицы (8.1.4), в которой приводятся эквивалентные спинорные и тензорные условия того, что изотропный вектор

представляет собой простое, двукратное и т. д. ГГИН не равного нулю спинора

Эквивалентность первого и второго столбцов следует из предложения (3.5.26) (и уже использовалась в гл. 7). Чтобы установить эквивалентность второго и третьего столбцов, рассмотрим последовательность тождеств, справедливых в силу формул

где под нужно понимать выражение, комплексно-сопряженное предыдущему члену данного тождества с учетом его знака. Из этих тождеств видно, что при наличии условия из второго столбца таблицы (8.1.4) выполняется соответствующее условие из третьего столбца. Обратное тоже верно, так как из обращения в нуль левой части любого равенства (8.1.5) следует обращение в нуль обоих соответствующих членов в правой части, в чем легко убедиться, выполнив операцию трансвекции в случае первых двух тождеств последовательно с , а в случае двух остальных — с

Из сказанного следует также, что всякое тензорное условие из таблицы (8.1.4) эквивалентно такому же условию, но с заменой тензора тензором с формулой (4.6.42)], а значит (после разделения действительной и мнимой частей), эквивалентно тому же условию, но с тензором вместо

Варианты всевозможных совпадений ГГИН в одной произвольной точке пространства-времени задаются пятью различными разбиениями числа 4. Этими вариантами вместе с оставшейся возможностью обращения в нуль определяются различные типы спиноров записываемые следующим образом:

Здесь предполагается, что спиноры и отличны от нуля и не пропорциональны друг другу. В литературе используются еще и следующие обозначения, которые обычно называют типами Петрова:

где О — нулевой спинор Вейля, - так называемый двойной (или, первоначально, «вырожденный») случай, а изотропный случай по аналогии с изотропным электромагнитным полем, которое характеризуется совпадением всех (а именно двух) ГИН. Символы иногда используются для обозначения спиноров Вейля соответствующего типа, например Все типы, кроме являются алгебраически специальными [см. текст после формулы (7.3.5)]. Сам Петров относил типы и

О к типу 1 своей классификации, типы II и типу 2, а тип III — к типу 3.

Иногда требуется сложить несколько спиноров (или тензоров), каждый из которых обладает симметрией спинора (или тензора) Вейля и канонические разложения которых полностью или частично известны. В этом случае может оказаться полезным следующее предложение.

Предложение («Теорема сложения»)

Если два или большее число слагаемых вейлевского типа обладают одним или большим числом общих ГИН, то кратность любых таких ГИН в рассматриваемой сумме не меньше их наименьшей кратности в слагаемых.

Например, выкладки

(где последнее есть результат применения канонического разложения к выражению в фигурных скобках) показывают, что данная сумма относится к типу или еще более специальному типу. Общий случай аналогичен.