§ 10. Безмассовые поля и когомологии твисторов

В § 7 мы кратко изложили метод контурного интегрирования, позволяющий (среди прочих уравнений) проинтегрировать уравнения для безмассовых полей с любым спином в М. В данном параграфе мы проведем более глубокий анализ этого метода построения безмассовых полей, поскольку он является одним из краеугольных камней, на которых строится дальнейшая теория твисторов. Обсуждение этих вопросов приведет нас к знакомству с теорией когомологий пучков твисторов, хотя подробное ее изложение остается вне рамок этой книги.

Контурные интегралы для безмассовых полей

Сначала вернемся к формуле (6.7.41) в частном случае когда верхние (т. е. штрихованные) индексы отсутствуют. В этом случае она дает решения безмассовых полевых уравнений

в пространстве М или Подынтегральная функция будет тогда константой как функция твистора т. е. будет функцией только твистора Это однородная функция степени где есть число индексов спинорного поля которое мы хотим найти (а также число множителей под знаком интеграла):

Функция должна быть голоморфной в определенной области пространства Та (вид которой мы уточним позднее). Интеграл вычисляется в произвольной точке пространства-времени вдоль некоторого одномерного замкнутого контура в пространстве -твисторов инцидентных точке Это пространство можно отождествить с векторным пространством векторов в или, что эквивалентно, со спиновым пространством постоянных спинорных полей получающихся из твистора Первая точка зрения оказывается более удобной, если рассматривается искривленное конформно-плоское пространство-время, а вторая лучше подходит для явных вычислений в пространстве М или . В случае конформно-плоского пространства можно рассматривать как постоянный локальный твистор; тогда в каждой точке инцидентной ему, твистор записывается в виде где Если же вычисления производятся или то проще всего использовать представление

где — радиус-вектор точки отложенный из точки а величины рассматриваются как фиксированные спиноры в точке О. Представление (6.10.2) можно заменить более инвариантным выражением

где — постоянный спинор [так же как и в формулах (6.2.15) и (6.2.18)] есть радиус-вектор точки отложенный из точки общего положения. Тогда, в частности, в точке твистор записывается в виде

Аналогично в случае безмассовых полей с штрихованными индексами в формуле (6.7.40)] мы имеем формулу

где — однородная функция степени также голоморфная функция в некоторой области которой мы вскоре уточним); интеграл вычисляется по одномерному замкнутому контуру в пространстве -твисторов , инцидентных точке Это пространство можно мыслить как т. е. как пространство точечных спиноров в (что особенно удобно в случае конформно-плоского искривленного пространства), для которых справедливо представление локально в . В то же время в М или в качестве такого пространства можно взять спиновое пространство постоянных спинорных полей и воспользоваться представлением где — радиус-вектор точки относительно точки общего положения. Так же как в формуле (6.10.2), удобно фиксировать точку О и воспользоваться представлением твистора вида

в котором — точечные спиноры в точке О.

Считая радиус-вектор постоянным и учитывая то, что функция голоморфная и однородная указанной степени, легко убедиться, что внешняя производная подынтегрального выражения в формулах (6.10.1) и (6.10.3) равна нулю, так что результат интегрирования не изменяется при непрерывных деформациях контура в (несингулярной) области интегрирования. В каждой из указанных формул компоненты подынтегрального выражения имеют вид где — голоморфная и однородная функция степени —2, откуда на основании теоремы Эйлера находим

и, следовательно,

Отметим также, что безмассовые полевые уравнения легко получаются из рассматриваемых интегральных представлений, если воспользоваться формулами

где означает , а точечные спиноры в О определяются, как в формулах (6.10.2) и (6.10.4), соотношениями

(Смысл частной производной по спинору с абстрактными индексами самоочевиден в данном контексте; всегда можно проводить вычисления, перейдя к компонентам, отнесенным к определенному базису, а затем вернуться к обозначениям с абстрактными индексами.)