Некоторые свойства тензоров и спиноров в точке

Здесь мы отметим ряд простых свойств, которые справедливы для спиноров и тензоров, вычисленных в фиксированной точке (так что теперь будет кольцом с делением), и не обязательно справедливы в случае спинорных и тензорных полей.

Предложение

Условие означает, что либо либо

Предложение

для некоторых Это разложение единственно с точностью до численных коэффициентов и порядка множителей.

Это — каноническое разложение спинора величины (и спиноры, пропорциональные им с ненулевыми коэффициентами) называются главными спинорами спинора Флагштоки этих спиноров называются главными изотропными векторами спинора а соответствующие им изотропные направления — главными изотропными направлениями (ГИН)

спинора При равенство

выполняется в том и только в том случае, если — главный спинор спинора Спинор изотропен, если все его ГИН совпадают. Если есть в точности -кратный главный спинор, то

где причем число множителей а в правой части равно Кроме того, справедливы следующие предложения:

Предложение

Необходимое и достаточное условие того, что будет -кратным главным спинором для ненулевого симметричного спинора состоит в той, что выражение

равно нулю, если оно содержит множителей , свернутых с и отлично от нуля, если число множителей на единицу меньше. (3.5.26)

Предложение

Если то существует спинор , такой, что Как частный случай мы имеем

Если , то из равенства следует равенство для некоторого

Отметим, что если срлв то

так что равенство нулю величины может служить критерием изотропности спинора Отметим также, что

Антисимметричный тензор -мерном векторном пространстве), который может быть представлен косым произведением векторов, называется простым. Один из признаков простоты таков:

Предложение

Если тензор кососимметричен по всем индексам, то

Этот же признак можно сформулировать иначе:

Здесь звездочкой обозначено преобразование дуальности в -мерном пространстве. Следовательно, справедливы еще два предложения.

Предложение

Тензор является простым при том и только при том условии, что простым является дуальный ему тензор

Предложение

В четырехмерном пространстве бивектор будет простым тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: