r-Функции общего вида

Полный анализ следствий рассматриваемого формализма завел бы нас слишком далеко. Отметим только, что он связан с мощной математической техникой: имеется много глубоких математических результатов, которые можно привлечь для изучения когомологий этого типа (когомологий пучков). Существует исчисление -функций (или элементов групп когомологий) [116, 54], в котором определены операция сложения, операция умножения, а также понятие интеграла. Теория твисторов показывает, что такое исчисление должно иметь важное значение при исследовании природы квантовых частиц. Поэтому мы хотя бы вкратце остановимся на определении -функций.

Такие функции можно определить на комплексном многообразии общего вида и даже на всяком паракомпактном хаусдорфовом топологическом пространстве. Но поскольку для нас важны лишь голоморфные функции, этот последний случай мы рассматривать не будем. Пусть - локально-конечное покрытие многообразия Для всякого неотрицательного целого определим -коцепь (Чеха) по отношению к как набор голоморфных функций удовлетворяющих условиям:

Эта -коцепь будет -коциклом, если дополнительно

Здесь вертикальной черточкой обозначено ограничение в том же смысле, что и в (6.10.61), а квадратными скобками — обычная антисимметризация. Очевидно, что частным случаем равенства (6.10.66) является равенство (6.10.58), так как более строгая его запись имеет вид: очевидно также, что равенство (6.10.57) есть частный случай равенства (6.10.65). Некоторую -кограницу в покрытии можно следующим образом выразить через -коцикл:

для некоторой голоморфной -коцепи Ранее рассматривавшееся равенство (-частный случай этого общего соотношения (умноженного на 2). Такие же рассуждения, как и при доказательстве тождества в формуле — оператор внешней производной), показывают, что всякая -кограница есть в действительности -коцикл. В самом деле, если определить кограничный оператор как отображающий (-коцепь в -коцепь по формуле (6.10.67), то мы получим

так как порядок, в котором вычисляется ограничение функции, очевидно, несуществен [формула (6.10.61)].

Теперь можно определить -функцию в данном покрытии как -коцикл по модулю -кограниц. Тогда (голоморфная) -функция на пространстве получается как прямой предел -функции в покрытии аналогично случаю 1-функции. При таком определении -функции действительно оказываются обычными голоморфными функциями.

Разумеется, вычисление прямого предела составляет определенную сложность, однако существуют теоремы [116, 111, 130], из которых следует, что в (данном) случае когомологий голоморфных пучков на самом деле нет необходимости переходить к пределу, если выбрать подходящие множества а именно «голоморфно выпуклые» (или, более строго, «многообразия Штейна» [119]).

Если принять, что в твисторной теории волновые функции отдельных безмассовых частиц должны быть голоморфными 1-функциями на то естественно будет сделать вывод, что квантовое состояние системы безмассовых частиц при твисторном подходе должно описываться -функцией, определенной

на соответствующей области пространства, равного произведению твисторных пространств, т. е. -функцией твисторных переменных. В самом деле, мы можем определить произведение -функции на -функцию так («чашечное произведение»), чтобы оно было равно -функции [116]. Тогда, перемножив 1-функции, описывающие состояния отдельных частиц (и образовав их линейные комбинации), мы получим упомянутую -функцию, описывающую состояние системы частиц. Пока что не ясно, как построить твисторные функции, которые описывали бы массивные частицы. Можно думать, что они тоже должны быть какого-то рода -функциями нескольких твисторных переменных, и очень притягательна мысль, что отдельная массивная частица должна описываться твисторной 1-функцией. Тогда описание систем массивных частиц четко отличалось бы на уровне когомологий от описания систем безмассовых частиц и можно было бы думать, что вообще -частичная твисторная волновая функция должна быть -функцией.