Ортогональность гиперповерхности; изотропные гиперповерхности

Случай, когда вращение равно нулю, оказывается важным с геометрической точки зрения и в другом отношении, а именно как условие того, что лучи конгруэнции Ч? ортогональны некоторой гиперповерхности, т. е. пропорциональны градиенту скалярной функции:

(Напомним, что есть кольцо действительных скалярных полей на ) Для доказательства рассмотрим условие, при котором конгруэнция является градиентом:

а именно:

Последний набор равенств получен (в предположении изотропности вектора вычислением компонент тензора по отношению к изотропной тетраде с учетом формулы (4.5.22). Если вектор лишь пропорционален полю градиента, то последние два равенства в формуле (7.1.57) не обязательно выполняются, поскольку они не инвариантны относительно масштабных

преобразований вектора ). В этом случае мы имеем (см. работу [217], а также формулу (4.14.2))

Последние два равенства можно получить прямым вычислением компонент но проще написать [формулы (3.4.26) и

а затем вычислить диадные компоненты последнего выражения. Можно дать следующую формулировку условия (7.1.58):

Предложение

Изотропная конгруэнция ортогональна гиперповерхности в том и только в том случае, если она геодезическая и не содержит вращения.

В качестве альтернативной формулировки имеем Предложение

Изотропная конгруэнция ортогональна гиперповерхности в том и только в том случае, если она образует изотропную гиперповерхность [т. е. существует однопараметрическое семейство изотропных гиперповерхностей (гиперповерхностей с изотропными нормалями), таких, что векторы касательны к ним в каждой точке].

В самом деле, если изотропная конгруэнция, отвечающая полю , ортогональна гиперповерхности, то (по определению) гиперповерхности которым она ортогональна, будут изотропными и, следовательно, вектор будет касательным к ним. Более того, поскольку нормаль в каждой точке фиксированной гиперповерхности единственна и вектор задает единственное направление, ортогональное полю , этот же вектор задает

Рис. 7.3. Однопараметрическое семейство изотропных гиперповерхностей. Это гиперповерхности, нормали к которым являются изотропными векторами, а следовательно, и касательными векторами. Соседние лучи, принадлежащие одной гиперповерхности, изопараметричны и вращение отсутствует.

единственное касательное направление в каждой точке гиперповерхности ориентированное в будущее. Такими направлениями на задается двухпараметрическое семейство интегральных кривых, называемых образующими гиперповерхности . И наоборот, образующие однопараметрического семейства изотропных гиперповерхностей составляют трехпараметрическое семейство изотропных линий, ортогональных гиперповерхности. Тем самым эквивалентность двух высказанных предложений доказана (рис. 7.3). Отметим, что семейство образующих гиперповерхности будучи нормальным и изотропным, должно быть геодезическим [в силу формулы (7.1.58)]. Поскольку всякий вектор соединяющий точки двух соседних образующих гиперповерхности лежит на он должен быть ортогональным полю , а следовательно, всякие две соседние образующие гиперповерхности изопараметричны. По этой причине коэффициенты описывают как геометрию гиперповерхности вследствие формулы (7.1.58)], так и конгруэнцию лучей в целом. Следовательно, можно говорить о конвергенции и дисторсии отдельно взятой изотропной гиперповерхности.