§ 9. Локальные твисторы

До сих пор мы рассматривали теорию твисторов главным образом в плоском пространстве-времени. Отчасти это обусловлено тем, что условие совместности (6.1.6) для твисторного уравнения (6.1.1) приводит к ограничению а отчасти — тем, что даже в случае конформно-плоского пространства-времени (т. е. когда условие действительно выполняется)

часто оказывается удобным перейти к плоскому пространству-времени и выражать твисторы через радиус-вектор точки в М относительно фиксированного начала отсчета О. Формализм локальных твисторов, который мы рассмотрим в этом параграфе, позволяет распространить понятие твистора на общий случай произвольного искривленного пространства-времени . В частном же случае, когда конформно-плоское пространство-время, этот новый формализм дает возможность проводить вычисления с нашими исходными твисторами (которые в данном параграфе мы будем называть «глобальными» твисторами), не переходя к плоской метрике. В качестве приложения теории локальных твисторов мы покажем, что равенство нулю спинора есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы пространство-время было кусочно-конформным пространству М.

Комплексное пространство-время

В большей части данного параграфа и даже в большей части всей книги речь идет об обычном действительном пространстве-времени. Однако современная теория твисторов обычно строится на фоне комплексного пространства-времени, а потому мы здесь скажем об этом несколько слов. Как отмечалось выше (см. примечания на с. 81), комплексифицированное пространство-время получается из «обычного» действительного пространства-времени (которое параметризуется действительными аналитическими координатами и допускает действительную аналитическую метрику с лоренцевой сигнатурой когда допускаются комплексные значения координат, а метрические коэффициенты продолжаются в комплексную область как голоморфные функции. При этом исходное действительное пространство-время становится неким выделенным подпространством. Комплексное же пространство-время есть комплексно-четырехмерное комплексно-риманово многообразие общего вида, в котором нельзя однозначно выделить действительно-четырехмерного подпространства, допускающего действительную структуру. (В общем случае такое подпространство даже не существует [375].) В комплекси-фицированном пространстве-времени определена операция комплексного сопряжения, сопоставляющая каждой точке с (комплексными) координатами х точку с координатами (и аналогично для тензоров). Это отображение есть инвариант действительных аналитических преобразований координат в исходном действительном пространстве. (Разумеется, оно не будет инвариантом общих голоморфных преобразований координат в комплексном пространстве, и по этой причине комплексное сопряжение в нем не определено.) Инвариантами комплексного сопряжения будут действительные точки исходного пространства

(и действительные тензоры, заданные в этих точках); эта инвариантность может служить критерием «действительности». Отметим, что не существует критерия действительности тензоров (или понятия пары комплексно-сопряженных тензоров), заданных в комплексных точках даже в комплексифицированном пространстве, поскольку сопряженный тензор оказывается перенесенным в комплексно-сопряженную точку. (Только в плоских комплексифицированных пространствах можно дать довольно искусственное определение дальнего параллелизма, позволяющего переносить тензоры в одну и ту же точку.)

Повторяя рассуждения, проводившиеся при построении спинорного формализма, мы можем сформулировать следующее правило перехода к комплексному пространству-времени в формулах, содержащих спиноры: все алгебраические операции (кроме комплексного сопряжения) и операции дифференцирования остаются неизменными, действительные величины заменяются комплексными, если же наряду с комплексной величиной фигурирует комплексно-сопряженная величина , то следует обе заменить двумя независимыми комплексными величинами, скажем А и . Например, в формулу (1.2.19) входит комплексная координата определенная на световом конусе, и аналогично координата Но если принимают комплексные значения, оба этих выражения приводят к двум независимым величинам и . Неголоморфные (но действительно-аналитические) функции переменной такие, как превращаются при комплексификации в голоморфные функции двух комплексных переменных данном случае Двукратное комплексное сопряжение, разумеется, сводится к тождественному отображению, так что величина отождествляется с исходной величиной .

Пространства становятся независимыми, и пара спиноров — каждым из которых ранее определялся другой — заменяется парой независимых спиноров Изотропный (ориентированный в будущее) вектор общего вида при комплексификации переходит в комплексный изотропный вектор общего вида [формула (3.2.6)]. Величины У, которые первоначально были действительными, при комплексификации не дают новых величин поскольку равенство переходит в Таким образом, например, действительный оператор ковариантной производной не переходит в новый оператор но приобретает смысл комплексного голоморфного оператора. Величины , описывающие комплексную

кривизну, должны дополняться величинами вида , но в силу исходных условий действительности (4.6.4) и (4.6.17) последние две из них не приводят к появлению новых величин, так как

В то же время есть новая характеристика кривизны, независимая от

Оказывается, что может существовать комплексное пространство-время, для которого но Его называют правым конформно-плоским (или конформно-антисамодуальным) пространством, а если обращается в нуль только то пространство называют левым конформно-плоским (или конформно-самодуальным). Если дополнительно то такие пространства называют соответственно правоплоским (или антисамодуальным) и левоплоским (или само-дуальным). Замечательно, что такие пространства возникают естественным образом -пространства Ньюмена [216, 163, 122]) при изучении действительных асимптотически плоских многообразий пространства-времени. (Мы весьма кратко рассматриваем их в гл. 9, см. с. 460 и далее.) Отметим, что в случае комплексного пространства-времени общего вида ГИН спиноров и независимы и схема совпадений ГИН спинора может совершенно отличаться от соответствующей схемы для Таким образом, в каждой точке мы имеем две независимые схемы классификации, аналогичные той, которая будет рассматриваться в гл. 8 для спинора .