Связь с твисторными функциями безмассовых полей

Рассмотрим теперь приложения к безмассовым полям. В предложениях (7.3.9) и (7.3.14) мы уже видели, что существует тесная связь между БСК и алгебраически специальными безмассовыми полями. Эта связь проявляется, например, в двух основных приложениях голоморфных функций твистора которые мы уже рассматривали выше, а именно в теореме (7.4.14) и формуле (6.10.1), позволяющей получать решения безмассовых полевых уравнений. Чтобы проиллюстрировать характер этой связи во втором случае, предположим, что функция в выражении

имеет -кратный полюс в заданной точке охватываемой контуром интегрирования. Если в этом полюсе спинор пропорционален то имеем

(в левой части содержится множителей так как полюс гасится множителем Таким образом, в силу предложения (3.5.26) поле в точке имеет по крайней мере -кратное ГИН вдоль флагштока спинора Если этот полюс порядка сохраняется при изменении то функция должна иметь вид

где — однородная голоморфная функция, регулярная в рассматриваемых полюсах, которые определяются из условия равенства нулю знаменателя

при переменных значениях Мы полагаем, что интересующие нас нули функции — простые, а также что — однородная и

голоморфная функция. Сравнивая этот результат с (7.4.9) и (7.4.13), мы видим, что поле образует БСК, как и ожидалось.

Особый интерес представляют функции вида

При всех значениях имеем два полюса третьего порядка; располагая контур интегрирования между ними, получаем гравитационное поле в линейном приближении, которое в каждой точке имеет две пары кратных ГИН (типа Линейное приближение к решению Шварцшильда и Керра принадлежит к этому типу (кулоновское электромагнитное поле тоже принадлежит этому типу с заменой показателя —3 на —2). Если теперь воспользоваться процедурой вычисления твистора момента импульса изложенной в гл. 6, § 4, 10, то получим, что он пропорционален матрице, обратной матрице и деленной на квадратный корень из ее детерминанта. Таким соотношением между объясняется аномалия в знаке спина, ассоциированного со спинором Киллинга для решения Керра, упоминавшегося на с. 135.

Отметим, что при мы вновь получаем поле которое образует БСК, тогда как ГИН будут простыми. Это не означает, что простые ГИН безмассовых полей всегда образуют БСК. Однако поля, которые получаются по формуле (7.4.20), принадлежат к специальному типу, когда функция имеет вид (7.4.22). При это проявляется не в том, что поле является алгебраически специальным, а в том, что оно содержит лучи образующие БСК. Чтобы получить поле общего вида, потребовалось бы рассматривать функции с особенностями более общего типа, чем полюса.

Интересно сопоставить результат (7.4.22) с теоремой Робинсона (7.3.14) об изотропных полях. Поле (7.4.20) будет изотропным, если в формуле (7.4.22) мы имеем (когда контур охватывает этот простой полюс). Следовательно, в интеграл (7.4.20) дают вклад только значения функции в полюсах функции т. е. существенны значения лишь при Геометрическое место точек, где будет комплексно-трехмерным подмножеством множества , которое заметают линии, проходящие через начало координат. Следовательно, семейство таких линий будет комплексно-двумерным. Поскольку — однородная функция, это означает, что интересующие нас значения определяются двумя комплексными параметрами. Таким образом, формула (7.4.20) позволяет, исходя из БСК, получать в М изотропные безмассовые поля с любым значением спина Эти БСК определяются нулями функции (теорема Керра), а произвол в значениях получаемого изотропного поля (теорема

Робинсона) определяется множеством значений функции 0 в нулях функций Все аналитические безмассовые изотропные поля в М локально допускают подобное представление.

Определенный интерес представляет обобщение этого результата на случай алгебраически специальных полей меньшей кратности вырождения (не все ГИН совпадают). Поскольку теперь в формуле (7.4.22) мы имеем для нас существенны не только значения при но также первых производных при вычисленных в направлении от множества, определяемого этим уравнением. Это означает, что фактически мы должны рассматривать голоморфных функций двух комплексных переменных. Таким образом, интегральная формула (7.4.20) позволяет получать безмассовые поля со спином 1/2, для которых заданная аналитическая БСК будет по меньшей мере -кратной ГИН. Полученные поля параметризуются голоморфными функциями двух комплексных переменных.

Покажем, как можно переписать формулу (7.4.20) в обозначениях (7.4.1) — (7.4.4). Вычисляя компоненты функции (7.4.20) в постоянной спиновой системе отсчета и записывая

так что индекс в правой части содержит нулей и единиц, получаем

где

причем — произвольная функция, голоморфная в области, не включающей области сингулярностей, охватываемых контуром интегрирования. Как нетрудно убедиться, выполняются уравнения

являющиеся компонентами безмассового полевого уравнения (4.12.42) при Кроме того, мы имеем волновое уравнение

для метрики (7.4.2)

которое показывает, что спин 0 также учтен в выражении