Пространство Минковского как пространство «начал»

Чтобы уяснить значение структуры, придаваемой пространству последовательностью (9.9.62) и спинором (9.9.63), построим пространство точки которого являются двумерными линейными подпространствами пространства отличающимися от тех, что пересекают нетривиально. Иными словами, — это «комплексифицированное пространство Минковского», ассоциированное с Точки пространства можно отождествить с простыми элементами нормированными как в формулах (6.2.17) и

Тогда можно определить квадрат интервала между двумя такими точками с формулой (1.1.22)], как в формуле (6.2.30), с помощью выражения

Здесь элемент

будучи кососимметричным, фиксирован с точностью до масштабного множителя, который сам определяется уравнением

справедливость которого в стандартном пространстве можно легко проверить. Выражение (9.9.71) придает пространству плоскую комплексную метрику, идентичную метрике пространства

Кроме того, у пространства есть определенная «структура действительнозначности», обусловленная тем, что его (постоянное) спиновое пространство является стандартным «лоренцевым» пространством и с помощью операции комплексного сопряжения отображается на пространство Значение последовательности (9.9.62) состоит в том, что она показывает, как два типа спиновых пространств, нештрихованное и штрихованное, возникают в их связи со структурой твисторного пространства. Отношение комплексного сопряжения, связывающее здесь эти спиновые пространства, влечет за собой уже упоминавшуюся структуру действительнозначности для пространства Еще один способ установить эту структуру опирается на существование действительных элементов векторного пространства Таким образом, несмотря на то, что является комплексным пространством, в нем имеет смысл понятие действительного направления.

Но для полного твисторного комплексного сопряжения нам необходимо определение, основанное на соотношении

действительной точки в т. е. нам нужно уметь выделять каноническое подпространство

со структурой действительного пространства Минковского.

Значение пространства для момента импульса заключается в том, что оно дает пространство «начал», относительно которых определяется момент импульса. Дело в том, что в отличие от 4-импульса, который относится просто к пространству момент импульса невозможно определить только по отношению к асимптотическим спиновым пространствам. Более того, для этой цели, т. е. для физической интерпретации твистора

недостаточно и самого пространства поскольку всегда можно найти такое «комплексное начало», что вычисленный относительно него самодуальный момент импульса, определяемый спинором [таким, что есть главная спинорная часть твистора см. формулы (6.3.11), (6.3.10)], будет равен нулю.

Чтобы доказать это, приведем выражение для спинора как функции полевой точки с (комплексным) радиус-вектором проведенным в нее из начала

с комплексным аналогом выражения (6.1.51) для твистора. с двумя симметричными нижними индексами]; 4-импульс здесь постоянен [т. е. ], и спинор как и в гл. 6, § 1, тоже имеет постоянное значение, согласующееся со значением спинора в точке Если в формулу (9.9.76) подставить выражение

, то мы обнаружим, что спинор равен нулю. Отсюда следует вывод, что самодуальный момент импульса, вычисленный относительно любой точки мировой линии комплексных центров масс, описываемой радиус-вектором (9.9.77) при изменении параметра X, равен нулю. [Отметим, что 4-импульс в выражении (9.9.77) предполагается неизотропным;

как уже указывалось, он считается времениподобным вектором будущего.] Таким образом, описание спинорной части твистора с помощью перехода к комплексной начальной точке в можно свести к описанию спинора, у которого равна нулю часть, связанная с моментом импульса [215]. Не имея определения «действительных» точек в пространстве мы не могли бы говорить о величине спина системы, ибо эта величина есть мера минимального полного момента импульса системы (скажем, в специальной теории относительности) при варьировании действительного «начала».

Проанализируем этот вопрос в связи со спин-вектором Паули — Любаньского [формула (6.3.5)] в М. Пользуясь формулой

сходной с формулой (6.3.10), и выражением

[формула (6.3.5)], мы с учетом формулы (3.3.31) получаем

Напомним, что вектор постоянен; следовательно, выбрав «начало» можно вместо в (9.9.80) подставить Тогда сравнение с (9.9.77) показывает, что мировая линия комплексного центра масс смещена из М в на величину

(при этом предполагается, что Таким образом, спин системы в сущности является мерой того, как далеко в комплексную область смещается комплексный центр масс, и чтобы сказать, на сколько именно он смещается, необходимо знать, где расположена «действительная» часть пространства.

Может создаться впечатление, что всех этих сложностей не будет, если наряду с твистором определить твистор затем из двух таких твисторов построить выражение (9.9.80). Но все дело в том, что без операции (9.9.21) комплексного сопряжения на не было бы никакой возможности отождествить пространство к которому относится твистор с комплексно-сопряженным пространством к которому относится твистор а потому нельзя было бы достаточно корректно строить выражения вида (9.9.80). [Более того, в отсутствие операции (9.9.21) нельзя даже считать твистор элементом пространства