§ 7. Последовательное вырождение

Допустим, мы имеем произвольное поле которое можно считать конформной плотностью веса, т. е.

и пусть — поле, непрерывное [класса в точке Будем предполагать наличие (слабо) -асимптотической простоты и асимптотического эйнштейновского условия (9.6.21), И пусть у — полный в пространстве луч с одной концевой точкой, совпадающей с точкой но касающийся в точке Р границы 3 (такое касание возможно только в лишенной физического смысла ситуации с «вогнутой» времениподобной границей 3). Выберем (как в гл. 7) параллельно переносимую вдоль луча у спиновую систему отсчета с касательным к у флагштоком

Пусть — аффинный параметр, ассоциированный с у:

Тогда, если — любая компонента поля имеющая в общей сложности нулевых индексов (0 или 0), то

где каждая из величин остается вдоль луча у постоянной. Особо отметим, что старший член этого разложения кратен величине

Мы докажем ниже сформулированное нами утверждение, но сначала укажем его частную интерпретацию в случае безмассовых полей с пройзвольным спином. Предположим, что спинор имеет симметризованных индексов, конформный вес

силу формулы (5.7.17) и т. д. это делает уравнение для безмассового поля конформно-инвариантными] и что — непрерывное поле в точке Р. Тогда различные компоненты этого спинора ведут себя следующим образом:

причем все постоянны на луче у. Если допустить, что есть поле класса в точке Р, то, согласно формуле (9.7.4), мы получим

где каждый коэффициент параллельно переносится вдоль

Вспомнив предложение (3.5.26), можно показать, что часть поля имеющая порядок обладает как минимум (а в общем случае точно) главными изотропными направлениями, указывающими вдоль направления луча , т. е. вдоль [297, 298, 217, 234, 237]). При этом часть поля, имеющая порядок («поле излучения»), изотропна. Мы приходим к следующему наглядному представлению (рис. 9.19): при движении вдоль изотропного луча от больших значений к малым под нарастающим влиянием членов все более высокого порядка главные изотропные направления одно за другим «отслаиваются» («peel off») от радиального направления. Такая картина не совсем соответствует действительности, ибо точная форма последовательного вырождения дается всей совокупностью соотношений (9.7-5) - (9.7.7). Различными старшими членами в формуле (9.7.5) даются различные компоненты спинора в точке Р. Однако истинный характер этой связи станет яснее лишь после доказательства существования разложения (9.7.4).

Рис. 9.19. Последовательное вырождение Сакса: изменение вдоль уходящего луча кратности радиальных ГИН вейлевой кривизны для различных членов разложения по отрицательным степеням параметра .