Определение множителя

Кажется, ясно, что описанные выше (и другие) весьма обнадеживающие результаты для неконтортных поверхностей 9 должны каким-то образом обобщаться на случай, когда поверхность 9 контортна. В частности, в пространстве-времени Шварцшильда, если поверхность не охватывает источник, должно получаться значение независимо от того, является поверхность 9 контортной или нет. Однако, как показали и Келли, если опустить множитель в определении (9.9.19), то для некоторых малых сфер, не охватывающих шварцшильдов источник, получается физически неприемлемый результат

Такие сферы получаются, если выбрать точку взять сечения светового конуса с центром в Р на фиксированном расстоянии от Р по афинному параметру и, нормированному с помощью времениподобного вектора Т в Р. Контортные сечения возникают в случае, когда Та не лежит в плоскости в

шварцшильдовских координатах. Без множителя отрицательные значения возникают в порядке но их можно устранить, вводя множитель согласно нижеследующему предписанию. Это предписание возникло в результате анализа некоторых твисторных контурных интегралов, из которых видно, что если спинор Киллинга (6.7.15) принадлежит пространству то вводимый множитель приводит к значению если только поверхность не охватывает источник пространства-времени Шварцшильда.

Чтобы ввести построим (конформно-инвариантный) определитель любых четырех линейно-независимых решений уравнения (9.9.13) на 9:

(см. также работы [339, 155]). Если поверхность неконтортна, то величина У постоянна на 9 (что показывает переход к локальному твисторному описанию в конформно-плоском пространстве погружения Л), но в общем случае величина У изменяется, хотя никогда не обращается в нуль (предполагается, что пространство четырехмерно). Тогда:

Выберем величину равной определителю У с некоторым постоянным на множителем.

К сожалению, при этом в выборе еще остается некоторая неопределенность. Ее можно устранить (ценой нарушения конформной инвариантности определения величины потребовав, например, чтобы среднее значение величины на было равно единице или (что, возможно, правильнее) чтобы среднее соответствующего логарифма было равно нулю; однако статус таких доопределений не совсем ясен.

Одна из важных сторон величины в том, что она описывает (локально на ) отличные от нуля компоненты альтернирующего твистора

Неоднозначность в выборе множителя а именно эквивалентна произволу в выборе Величина которая входит в формулу (9.9.19), порождает 2-форму элемента

поверхности в комплексном конформном Минковскому пространстве погружения, в которое можно вложить, не изменяя о или а. Эта 2-форма естественно определена с точностью до упомянутой неоднозначности. Детали этих построений, однако, здесь не будут обсуждаться, и мы переходим в оставшейся части параграфа к случаю, когда 9 находится на изотропной бесконечности — ситуация, для которой как мы сейчас увидим.

Конформная инвариантность определения в особенности важна, когда мы переходим к применению нашего построения на срезе (см. § 8). Будучи предполагать выполненным условие асимптотической простоты в будущем (-мерное), а также предположим, что вблизи присутствуют только безмассовые поля. Соответственно этому возьмем физический тензор энергии-импульса бесследовым вблизи и [формула (6.7.34)] преобразующимся как

при конформном преобразовании

где теперь физические величины помечаются тильдой, как в § 8. Мы предполагаем, что материальные поля убывают достаточно быстро, так что тензор конечен (по крайней мере класса на что совместимо с условиями последовательного вырождения § 7, имеющими место на [Если поля фдостаточно регулярны на то и тензор тоже — в силу предположения (9.9.31) для при преобразовании (9.9.32), см. формулы (5.2.4), (5.8.3) (6.8.36).] При этих предположениях сильное асимптотическое условие Эйнштейна (§ 6) будет выполнено.

Рассмотрим теперь выражение (9.9.19) [или (9.9.17)], переписанное с использованием физических величин

подставляя указанные [в правых частях равенств (9.9.33)] их значения. Учитывая масштабное преобразование (9.9.31) совместно с

[формула (9.6.40)] и законом преобразования спиновой системы отсчета (см. § 6, 7)

позволяющим системе оставаться конечной на находим

Таким образом, в «нефизических» переменных формула (9.9.19) принимает следующий вид:

причем все вклады от включены в и к тому же принято, что на , см. ниже. Если взять в качестве 9? срез гиперповерхности члены исчезают и величины будут полностью определены через и решения уравнений

на срезе (поскольку на Мы выбираем таким образом, чтобы внутренняя метрика на была метрикой сферы.

Уравнения (9.9.36) имеют значительные преимущества перед системой (9.9.13). Во-первых, ясно, что система (9.9.36) всегда имеет в точности четыре независимых решения, так что пространство обязательно будет комплексно-четырехмерным. Чтобы убедиться в этом, вернемся к соотношению (4.15.60), вспомнив, что имеет спиновый вес, равный —1/2, и найдем, что уравнение имеет в точности два независимых решения (линейные комбинации величин и см. гл. 4, § 15). Подставляя каждое из них в уравнение и вспоминая, что имеют соответственно спиновые веса, равные 1/2 и 2, опять находим из (4.15.60), что для каждого имеются как раз два независимых решения для т. е. всего, как и требовалось, оказывается четыре решения.

Во-вторых, мы находим, что множитель о котором шла речь выше, может быть выбран равным единице. Чтобы построить соответствующий определитель (9.9.30), нам нужны четыре линейно-независимых решения системы (9.9.36), два из которых могут иметь , следовательно, определитель (9.9.30) принимает вид

Учитывая сказанное выше, можно выбрать например, в виде величин соответственно, не содержащих гл. 4, § 15), и то же относится к величинам Таким образом, значение определителя, постоянное на; будем тем же самым, что и в пространстве Минковского. Следовательно, мы имеем

В-третьих, появляется единственный элемент висит от выбора среза в хорошо определенном смысле). Напом обладающий всеми необходимыми свойствами (который не заним локальное твисторное выражение (9.8.41) для на

Выполнив комплексное сопряжение и свернув результат с мы получим локальное твисторное выражение на

Теперь из таблицы (4.15.60) ясно, что любой скаляр со спиновым весом —1/2, удовлетворяющий уравнению должен также удовлетворять условию

(Это было бы не так, если бы поверхность не была масштабным преобразованием приведена к сферическому виду.) Применяя оператор к окончательному выражению в (9.9.37), находим, что результат обращается в нуль. Но выражение (9.9.37) имеет спинорный вес, равный нулю, и поэтому в силу сказанного в гл. 4, § 15 оно должно быть постоянным на Эта постоянная позволяет определить как кососимметрическую билинейную функцию чем определяется условие

В-четвертых, можно дать определение твисторного комплексного сопряжения (9.9.21), удовлетворяющего всем необходимым требованиям (инволюции, сигнатуры независимости от выбора конформного множителя), по отношению к которому твистор является действительным. Тогда необходимое свойство эрмитовости (9.9.20) тоже имеется. Тем не менее это определение не является прямым и в существующей форме выглядит несколько неуклюже, как мы вскоре увидим. Сначала нужно познакомить читателя с различными важными соображениями.