Индуктивное построение спинового пространства

Один из эффективных способов построения спиновых пространств — индуктивный переход к случаю измерений в предположении, что структура -мерного пространства

известна. Это соответствует стандартной процедуре построения явных представлений для -матриц. Если число четно, то (для в измерениях) все матрицы

антикоммутируют, как мы уже видели, так что мы непосредственно получаем -мерное представление из (-мерного, выбирая матрицу пропорциональной [формула с заменой на и формула Если же число нечетное, то редуцированные матрицы у в измерениях можно представить как точные копии матриц у в измерениях, и полная алгебра для измерений получается в виде блочного матричного представления [Каждая из величин для измерений может быть представлена в виде Для измерений — в виде Допустимыми теперь будут только такие произведения, которые принадлежат одному из этих типов, а складывать можно лишь однотипные слагаемые.]

Таким образом мы получаем прямой способ перехода от спиноров в измерениях к -мерным спинорам. При переходе от четной к нечетной размерности новое пространство имеет вид прямой суммы старых пространств, а при переходе от нечетной к четной размерности новые и представляются в виде копий старого пространства Однако с абстрактной точки зрения в этой процедуре имеется произвол, связанный с выбором базисного элемента [формула — не абстрактный индекс!]. Записывая

мы видим, что единственное требование к состоит в том, чтобы он был единичным вектором:

поскольку остальные элементы базиса при желании могут быть восстановлены, если вектор уже задан. [Можно также использовать модифицированную процедуру, если выбран изотропным, и по существу именно эта процедура использовалась в стандартном описании твистора как пары 2-спиноров (гл. 6, § 1). Но здесь мы не будем вдаваться в общий анализ этих

Величина является ковектором в пространстве , стало быть, определяет -мерное подпространство (гиперплоскость) у а с нормалью Таким образом, мы получаем спиноры в из спиноров, определенных в . Чтобы

Рис. Б.1. Фундаментальные спиноры в измерениях могут быть построены по индукции из фундаментальных спиноров в измерениях, если проанализировать, как пространства для (-квадрики связаны с соответствующими пространствами для произвольного сечения гиперплоскостью —

перейти обратно от спиноров, определенных по отношению к к спинорам в , мы вводим величину

или, если четное,

При нечетном в качестве проекционных операторов Пра, Пра можно использовать величины

[в соответствии с двумя знаками в формуле (Б.77)], которые необходимы для того, чтобы расщепить спиноры в на два множества редуцированных спиноров в [Отметим, что Если четное, то величины служат для того, чтобы переходить от штрихованных к нештрихованным индексам. Итак, мы установили соответствие между спинорами пространства и редуцированными спиновыми пространствами для

Полезно рассмотреть геометрические свойства пространства которые используются в указанной процедуре (рис.

Гиперплоскость дает нам проективную -плоскость

Р У в пространстве которая пересекает поверхность по некоторой Поскольку мы предполагаем здесь, что иаиа проективная плоскость Р у не касается квадрики следовательно, — несингулярная квадрика. Рассмотрим сначала случай, когда четное Мы пишем так что есть квадрики и образуют семейство. Кроме того, а- и -плоскости квадрики находятся во взаимнооднозначном соответствии со своими -плоскостями, образованными пересечениями с Рассмотрим далее случай нечетного (рис. Б. 1,6). Теперь мы пишем так что поверхность будет большей квадрики А-мерны и образуют семейство. Произвольный член этого семейства пересекает квадрику по (-мерной плоскости, через которую проходит единственная -плоскость, принадлежащая квадрике а также единственная -плоскость, принадлежащая той же квадрике. (В особых случаях -плоскость квадрики в действительности лежит на и совпадает либо с -плоскостью, либо с -плоскостью в ) И наконец, -плоскости и -плоскости в образуют семейство.

Связь между этой геометрией и изложенным выше в том, что. она описывает соотношение между фундаментальными спинорами пространств . Редуцированные спиноры общего типа образуют линейный базис для фундаментальных спиноров. Отметим, что если четное, то всякий фундаментальный спинор непосредственно определяет пару фундаментальных спиноров и для а -плоскость в позволяет непосредственно восстановить -плоскость и -плоскость в Однако между -плоскостью и -плоскостью существует особая связь: их пересечение не только полностью принадлежит квадрике но и имеет максимальную размерность Два фундаментальных спинора и в пространстве соответствуют -плоскости и -плоскости на пересекающимся по подпространству максимальной размерности, в том и только в том

случае, если существует вектор удовлетворяющий условиям

В рассмотренном выше случае роль вектора играет вектор .

Если число — нечетное, то мы должны позаботиться о том, чтобы -плоскость, определяемая фундаментальным спинором в , пересекала -плоскость, отвечающую фундаментальному спинору максимальным образом. Это необходимо для того, чтобы их композиция давала фундаментальный спинор в пространстве Соответствующее условие для и неявно содержится в условиях (Б.80) и (Б.81), но мы не будем здесь останавливаться на этом.

Можно также редуцировать спиновое пространство в рассматривая подпространство у а произвольной размерности и его -мерное ортогональное дополнение (подпространство неизотропно, так что его индуцированная метрика и, следовательно, метрика пространства невырожденна). Таким образом, мы имеем прямую сумму

(хотя, строго говоря, нам, может быть, следовало бы ввести различные индексы, скажем причем Спиноры в пространстве оказываются в этом случае в соответствующем смысле прямыми произведениями (тензорными произведениями) спиноров пространств Чтобы использовать этот подход систематически, представляется более удобным в нечетномерном случае мыслить спиновое пространство как состоящее из двух «копий» спиновых пространств, рассматривавшихся ранее для этого случая (см. примечание 2 на с. 518), причем два знака, появляющиеся в формуле могут быть отнесены к любому из этих пространств — по одному каждой «копии». Тогда, если оба числа нечетные, так что — четное, -мерное полное спиновое пространство в получается как прямая сумма двух его -мерных редуцированных спиновых пространств, каждое из которых рассматривается как прямое произведение одной из «копий» спинового пространства для, одной из двух «копий» спинового пространства для Если

одно из чисел или четное, а другое — нечетное, то конструкция прямых произведений возникает естественным образом независимо от того, используются ли «копии». Если оба числа четные, то вопрос о таких «копиях» вообще не возникает. Однако мы отмечаем, что всякое редуцированное спиновое пространство для получается как прямая сумма произведений редуцированных пространств для в общем виде:

Действительность; комплексное сопряжение

(см. скан)

Выше мы всюду предполагали, что — комплексное пространство, но по большей части это не играло решающей роли (если не считать случаев, когда речь шла о линейных подпространствах на поскольку мы допускали любую сигнатуру для метрики Однако многие приложения спинорного подхода требуют, чтобы пространство было фактически действительным. Мы здесь будем мыслить пространство как комплексное, но считать, что оно допускает «действительную структуру», определяемую инволютивным оператором комплексного сопряжения Требуемое действительное пространство в этом случае будет (действительным) подпространством пространства элементы которого инвариантны относительно операции «Сигнатура» метрики имеет теперь инвариантный смысл по отношению к операции причем мы требуем, чтобы базис состоял из действительных элементов пространства

Если — четное, то оказывается, что отображение 9 может быть продолжено на спиноры так, что:

(см. скан)

Это, очевидно, согласуется с результатами для обычных лоренцевых 2-спиноров, а также для твисторов, если вспомнить, что в теории твисторов мы договорились вводить вместо штрихованных индексов нештрихованные, располагая их в противоположной позиции, что вполне законно [формула и далее], поскольку в этом случае Это также согласуется тем

что функции со спиновым весом 1/2 на пространственноподобной 2-поверхности в пространстве-времени превращаются в функции со спиновым весом —1/2 при действии оператора тогда как функции с бустовым весом на времениподобной 2-поверхности инвариантны относительно операции

Точнее говоря, значение сигнатуры связано с вопросом о существовании в нетривиального подпространства действительных спиноров («майорановских» спиноров — в физическом контексте). Мы находим, что при некоторых значениях сигнатуры операция не продолжается на спиноры инволютивно, а лишь удовлетворяет условию Существуют определенные проблемы выбора тех или иных соглашений, которые приводят к дальнейшим усложнениям. Более того, если нечетное, мы видим из формулы что при множитель, связывающий с единичным оператором, обращается при действии оператора Отсюда следует, что пространство не будет, строго говоря, инвариантным относительно операции но переходит в этом случае в свою «копию». Но мы пренебрежем последними двумя усложнениями и сделаем следующие замечания общего характера (поблагодарив за помощь в этом Ф. Риза Харвея).

Если , то мы имеем при действии в пространстве Это соответствует случаям, когда допускает кватернионную структуру и нет действительных спиноров [Примером могут служить спиноры для групп Если [формула то каждое из пространств является, естественно, комплексным и не содержит действительных спиноров но о комбинированном пространстве можно сказать, что оно содержит действительные («майорановские») спиноры [в подходящих обозначениях — обычным обозначениям отвечает случай Если , то мы имеем полную систему действительных спиноров (т. е. действительные спиноры, по которым всякий спинор рассматриваемого спинового пространства разлагается с комплексными коэффициентами). В частности, если , то это последнее свойство связано с максимальной размерностью действительных проективных подпространств в равной

Отметим, что квадрика не содержит действительных точек в положительно определенном случае, но содержит действительные -плоскости и -плоскости, если и действительные у-плоскости, если