§ 2. Компактифицированное пространство Минковского

Когда мы позднее перейдем к исследованию асимптотически-плоского пространства-времени, выяснится, что многое из того, о чем говорилось выше, остается в силе. Но есть одно свойство, очень специфичное для модели пространства Минковского: всякая изотропная геодезическая, исходящая из некоторой точки на должна пройти через такую же точку на (рис. 9.4). Это свойство поначалу может показаться неожиданным, но оно становится очевидным, как только мы

Рис. 9.4. Все лучи, выходящие в пространстве М из точки приходят в одну и ту же концевую точку будущего . (Это специфика пространства М, не относящаяся к произвольному пространству-времени.)

вспомним, что световой конус будущего для точки на есть просто изотропная гиперплоскость в пространстве Минковского. (Это предельная конфигурация светового конуса, к которой он стремится, когда его вершина уходит в прошлое вдоль изотропной прямой.) Точно так же световой конус прошлого для любой точки на тоже является изотропной гиперплоскостью. Следовательно, изотропная гиперплоскость достигает какой-либо прошлой «вершины» на (скажем, точки и соответствующей будущей «вершины» (скажем, точки на Это находит простое объяснение в модели вселенной Эйнштейна : световой конус будущего точки А фокусируется в точке которая в пространственном отношении антиподальна точке

Принимая во внимание эту естественную взаимосвязь между точками гиперповерхностей в случае пространства Минковского, в определенных отношениях представляется естественным отождествить т. е. точку отождествить с точкой а обе гиперповерхности обозначить одним символом 3. Тогда, чтобы быть последовательными, мы должны также отождествить Три точки и теперь превращаются в одну, которую мы обозначим символом Из чертежа, приведенного на рис. 9.5, видно, что в точке эти разные области пространства Минковского очень хорошо «пригнаны» друг к другу, так что точка становится нормальной внутренней точкой многообразия, построенного нами в результате всех этих отождествлений. Такое компактное конформное многообразие называется компактифицированным

Рис. 9.5. При отождествлении приводящему к возникновению пространства отождествляются и все точки Получающаяся в результате такого отождествления неособая точка имеет окрестность, составленную из трех отдельных кусков пространства М.

пространством Минковского М [24, 60, 174, 235]. По причинам, которые станут яснее несколько позже, подобного рода отождествление невозможно достаточно корректно провести в искривленных асимптотически-плоских пространствах. (Мало того, что в общем случае явно отсутствует какой бы то ни было канонический способ проведения таких отождествлений, при отличной от нуля полной массе любое отождествление приводит к нарушению требуемых условий регулярности вдоль отождествленной гиперповерхности.) Даже в пространстве Минковского отождествление гиперповерхностей и может оказаться во многих отношениях нефизическим (и в нем, разумеется, нет необходимости). Однако такое отождествление оказывается весьма удобным в математическом отношении, а

потому мы кратко остановимся в данном параграфе на геометрии компактифицированного пространства Минковского, тем более что она важна для теории твисторов и к тому же это пространство, на котором действует -параметрическая конформная группа.

Если отождествить так, как говорилось выше, то всякая изотропная геодезическая в пространстве М приобретет топологию окружности превратившись в изотропную прямую пространства М, замыкаемую в петлю единственной точкой на бесконечности. Пространство же М в целом приобретает топологию -

Чтобы убедиться в этом, можно выбрать в М произвольную конгруэнцию Робинсона (см. гл. 6, § 2, с. 75 и далее, а также рис. 6.3) и рассмотреть семейство пространственноподобных гиперповерхностей, которые в метрике (9.1.6) задаются условием Отождествление приводит к тому, что всякая гиперповерхность где стыкуется с другой гиперповерхностью , образуя пространственноподобное сечение Все сечения равноправны относительно конформной метрики, так как преобразование эквивалентно «вертикальному» сдвигу цилиндра Эйнштейна (см. рис. 9.2), ничего не меняющему при условии, что выполняются соответствующие отождествления, сохраняющие конформную метрику. Линии конгруэнции Робинсона имеют топологию окружности и каждая из них пересекает каждое сечение один (и только один) раз, но не пересекается с другими линиями. Таким образом, они устанавливают 1 — 1-значное соответствие между различными сечениями что и дает структуру топологического произведения (9.2.1).

Очевидно, что рассмотренные выше конформные преобразования пространства М вида не сохраняют исходную метрику Минковского пространства М. (Строго говоря, они вообще неприменимы к М, поскольку некоторые точки пространства М отображаются на гиперповерхность , и наоборот.) Пространственноподобная гиперплоскость, задаваемая в исходных координатах Минковского уравнением (ее можно задать и уравнением отображается на одну из гиперповерхностей , которые, если вернуться к координатам оказываются двумя ветвями пространственноподобного 3-гиперболоида

где

Комбинируя такие конформные преобразования с движениями группы Пуанкаре, можно генерировать всю связную компоненту 15-параметрической группы конформных движений пространства М (содержащей единицу), под действием которой пятипараметрическое семейство гиперповерхностей, являющихся пространственно-временными трансляциями гиперболоидов (9.2.2), вместе с пространственноподобными гиперплоскостями в преобразуются друг в друга.