Кривизна в пространстве локальных твисторов

Как мы уже упоминали, процедура переноса локального твистора не предполагается «интегрируемой» (т. е. не зависящей от пути) в произвольном искривленном пространстве-времени. Количественную меру неинтегрируемости можно установить, рассматривая результат обхода малой петли, натянутой на векторы и (рис. 6.9). Если — векторные поля, то мерой «невязки», возникающей при попытке построить малый четырехугольник из близлежащих векторов этих векторных полей, будет скобка Ли. Если четырехугольник не замыкается, т. е. скобка Ли отлична от нуля, то в результате получается бесконечно малый пятиугольник. Вариация геометрического объекта при

Рис. 6.9. Скобка Ли является мерой «невязки» малого четырехугольника, построенного из близлежащих векторов полей

параллельном переносе по пятиугольнику вычисляется как результат действия оператора VV который служит для определения кривизны. Мы уже рассматривали [формула (4.3.33)] соответствующее выражение для обычного параллельного переноса. Здесь же мы введем локальную твисторную кривизну и) с помощью соотношения

и после вычислений найдем

Множитель в формуле (6.9.17) вводится для того, чтобы величина была эрмитовой [как и тензор в формуле (5.5.30)].

Кривизна будет, разумеется, билинейной функцией полей и и но можно ввести величину не зависящую от и и

Аналогично, учитывая линейную зависимость оператора V от можно ввести оператор ковариантной производной действующий в пространстве локальных твисторов, положив

при произвольном [что дает нам связность в расслоении, как и в случае соотношений (5.4.17) — (5.4.19)]. Тогда определение кривизны (6.9.17) можно переписать в виде

[что будет частным случаем соотношения (5.4.23)].

Такой подход, пожалуй, ближе к построениям, рассмотренным в гл. 4, § 2 и гл. 5, § 4, 5, и мы можем сконструировать высшие производные кривизны вида

Однако подобные величины не будут комфорно-инвариантными, так как результат действия оператора на величину с тензорными индексами, вообще говоря, не является конформным инвариантом. Можно получить конформно-инвариантные производные, если воспользоваться методом Дайтона [69] (см. также [264]), в котором тензорные и спинорные индексы исключаются за счет перехода к локальному твисторному представлению. При этом каждый (нижний) штрихованный [нештрихованный] индекс будет появляться в виде верхнего [нижнего] твисторного индекса. Этого можно добиться с помощью (второго) отображения [например, ] каждой из следующих конформноинвариантных точных последовательностей:

где через обозначено локальное пространство в точке (см. с. 14; ср. с с. 114). Таким способом оператор превращается в конформно-инвариантный оператор хотя наличие (постоянного) кручения и приводит к некоторым усложнениям. Конформно-инвариантные спиноры можно получить (с помощью третьего отображения), отбирая главные части твистора, или вторичные, если главные равны нулю, или третичные, если равны нулю главные и вторичные, и т. д. Подобная процедура будет эффективной только в том случае, когда на твисторные индексы наложены определенные требования симметрии. Таким методом Дайтон [68, 69] получил тензор Баха (6.8.42) и другие конформно-инвариантные объекты (относительно альтернативного метода см. работу [78]).