Геометрия контурных интегралов

Вместо этого мы более тщательно исследуем случай безмассовых полей. Ранее анализ носил чисто формальный характер. Теперь же мы рассмотрим явный вид твисторных функций, а также геометрию их сингулярностей. Геометрическая структура, связанная с интегралами типа (6.10.3) и первого выражения (6.10.28), становится гораздо более прозрачной, если перейти к проективному твисторному пространству (или ), т. е. к пространству классов эквивалентности -твисторов с отношением эквивалентности

В качестве координат в мы выбираем три независимых комплексных отношения

Геометрия этого пространства и ее связь с геометрией пространства будут подробно рассмотрены в гл. 9, § 3. Здесь же нам будет достаточно утверждения, что всякая точка в изображается в комплексной проективной прямой Оно следует из результатов § 2 [формула (6.2.16)]. Точкам прямой отвечает семейство твисторов, инцидентных точке в Напомним, что интегралы (6.10.3) и первый (6.10.28) вычисляются вдоль одномерного контура в пространстве таких твисторов. Фактически это контур в комплексном одномерном проективном пространстве, параметризованном координатами

и совпадающем с проективной прямой Напомним далее, что пространство с координатами (6.10.42) топологически эквивалентно сфере римановой сфере частных этого вида (см. гл. 1, § 2). В гл. 1 мы видели, что для точки действительного пространства М это — небесная сфера наблюдателя в поскольку ее точки находятся во взаимно-однозначном

Рис. 6.11. Сингулярными множествами (полюсами) интегрируемой функции в пространстве являются плоскости А и В. Точке пространства отвечает прямая в , имеющая топологию сферы На полюсам А и В отвечают точки, разделенные контуром Г.

соответствии с лучами, проходящими через Оказывается, что и точке комплексного пространства в отвечает геометрическое место точек с топологической (комплексно-аналитической) структурой римановой сферы (рис. 6.11). Для вычисления интегралов на римановой сфере следует определить контур Г, который охватывает сингулярности функции , следовательно, не может быть стянут в точку на сфере так, чтобы он не пересекал сингулярностей функции (в противном случае интеграл должен быть равен нулю). Таким образом, очень важно изучить геометрию сингулярностей твисторных волновых функций.

Поясним ситуацию на простом примере (см. рис. 6.11). Рассмотрим случай, когда спин равен нулю, и попробуем построить решение волнового уравнения в М с помощью однородной твисторной функции степени —2. Выберем

Тогда в пространстве сингулярности функции будут лежать на двух гиперплоскостях, положение которых определяется уравнениями

В пространстве этими уравнениями определяются две плоскости, которые мы обозначим через А и В. Предположим, что эти плоскости различны (т. е. твисторы не пропорциональны друг другу) и прямая не пересекается с пересечением плоскостей. Тогда пересекает А и В в двух разных точках, которым на сфере отвечают сингулярности функции Мы

выбираем контур Г так, чтобы он имел топологию окружности и разделял точки и

Вычислим контурный интеграл (6.10.3) для рассматриваемой функции Имеем

Фиксировав направление обхода, по теореме Коши получаем с

и, следовательно,

где

причем — главные спинорные части, из которых другие получаются (однозначно в данном случае) поднятием и опусканием индексов. [Можно сравнить выражение (6.10.47) с выражением (6.2.15), с которым оно по существу совпадает.]

Точке положение которой определяется радиус-вектором в отвечает линия пересечения плоскостей А и В. Контурный интеграл становится неопределенным [а поле — бесконечным] только в том случае, когда пересекается с а это означает (см. гл. 9, § 3), что точки и разделены изотропным интервалом в т. е. точка лежит на световом конусе точки