Соотношение между собственными значениями и двойными отношениями

Чтобы выяснить, каков геометрический смысл величин вернемся к формуле (1.3.9) и вспомним, что для любого упорядоченного множества четырех изотропных направлений (в котором никакие три не совпадают) имеется определенное единственным образом двойное отношение (элемент пространства которое инвариантно по отношению к ограниченным преобразованиям Лоренца. Если переписать формулу (1.3.10) в спинорных обозначениях, то для двойного отношения ГГИН получим

причем обозначения в левой части будут соответствовать обозначениям в формуле (1.3.9) [в которой точки из § 2 следует считать элементами пространства если сферу в соответствии с предписаниями гл. 1, § 2, рассматривать как

риманову сферу для Для левой части равенства (8.3.14) справедливы выражения

Предположим, что В, С и D — несовпадающие друг с другом точки; тогда их можно перевести в любое другое заданное упорядоченное множество различных изотропных направлений с помощью единственного ограниченного преобразования Лоренца. При этом указанным двойным отношением определяется единственный образ точки А, получившийся в результате этого преобразования, и его связи с образами точек В, С и

Пусть

В силу сказанного выше можно выбрать нашу спиновую систему отсчета о, И, а также масштаб спинора а и т. д. так, чтобы выполнялись соотношения

(здесь откуда при некотором с учетом формул (8.3.14) и (8.3.16) получим (коэффициент 6 введен для удобства)

(что дает Тогда полином (8.1.2) приводится к виду

такому, что в данной частной системе отсчета

Подставляя эти выражения в (8.3.10), получаем

(где )

Из этих выражений для сразу же вытекают следующие утверждения:

Заметим, что три уравнения (8.3.8) позволяют выразить три величины X через [причем два последних уравнения (8.3.8) можно заменить уравнениями (8.3.11) и (8.3.12)], тогда как соотношения (8.3.21) и (8.3.22) позволяют выразить через Это дает возможность выразить три величины X через . Проведя соответствующие выкладки, получим

Вспомним [формула (1.3.12)], что изменение порядка следования точек А, В, С, D влечет за собой замену величины одним из следующих выражений:

Пользуясь равенствами (8.3.25), несложно убедиться, что такого рода замена, если она сопровождается соответствующей заменой на

ведет всего лишь; к перестановкам значений X, а именно соответственно.