Интегралы для спиральности противоположного знака

Недостатком данного описания волновой функции с помощью твисторной функции является необходимость перехода от -представления к -представлению при изменении знака спиральности. Очевидно, что желательно иметь единое описание в рамках одного из представлений. Как этого добиться, подсказывают условия квантования (6.10.18) и (6.10.21). Казалось бы

-представление волновой функции с положительной спиральностью нештрихованных индексов) можно получить, выполнив комплексное сопряжение в формуле (6.10.3) или (6.10.9) и заменив голоморфной функцией твистора однородной степени чтобы она удовлетворяла правильному уравнению на собственные значения для оператора (6.10.23). Однако после комплексного сопряжения под интегралом возникает произведение спиноров

и, хотя присутствие такого множителя кажется естественным (если мы хотим, чтобы в результате получался спинор с нештрихованными индексами), этот множитель нарушает голоморфность подынтегральной функции. К тому же использовать главную часть ом твистора в точке О вместо было бы неправильно по ряду причин, главным образом потому, что полученный спинор не удовлетворял бы уравнениям для безмассового поля; нарушился бы и сам дух построения теории, так как в силу координатной зависимости спинора подынтегральное выражение уже не было бы конформно-инвариантным.

Указанную трудность можно обойти, если (в соответствии с идеей, высказанной Хьюстоном в 251]) воспользоваться соотношением (6.10.18), из которого следует, что проекционной спинорной части сопоставляется оператор

Производя такую подстановку в формуле (6.10.9) (и опуская знаки и множители ), мы получаем

Достаточно воспользоваться соотношением (6.10.6), чтобы показать, что определенное таким образом спинорное поле удовлетворяет безмассовым уравнениям (4.12.42). Интересно, что соотношение (6.10.6) [и аналогично (6.10.5)] в известном смысле неявно содержит рецепт квантования, поскольку оператор стоящий в левой части, равен в сущности т. е. [в силу формулы (6.10.12)] квантовому аналогу величины Оператор в правой части равенства (6.10.6) в силу соответствия (6.10.27) есть квантовый аналог величины что замечательно согласуется с формулой (6.3.2).

По аналогии с (6.10.28) легко написать интегральную формулу для безмассовых волновых функций с положительной спиральностью в -представлении:

где — главная часть твистора (в точке О).

Отметим, что операторы зависят от выбора начала координат, а операторы не зависят. Это видно из того, что два последних оператора есть проекционные части твисторных операторов соответственно. Но в этом можно убедиться и непосредственно, перейдя от переменных , представляющих твистор в точке О, к паре новых переменных , представляющих по отношению к другой точке положение которой определяется радиус-вектором так что

Легко убедиться, что (при постоянном выполняются соотношения

т. е. зависимость от координат здесь та же, что и у спинорных частей твистора в формуле (6.1.26). Тем самым мы убеждаемся в правильной зависимости от координат спинорных частей оператора как это и должно быть в случае -твистора. Аналогично, если пара спиноров представляет твистор в точке имеем

так что

т. е. мы получаем правильную зависимость от координат, отвечающую -твистору.

Рассмотрим теперь интеграл, который содержит оба типа величин: как , так и Мы определяем

Уравнение, которому удовлетворяет симметричный спинор имеет вид

или, что эквивалентно,

Уравнение (6.10.36) в точности совпадает с уравнением (5.10.9), а потому, используя предложение (5.10.10), находим, что (локально) есть просто не свернутая производная свободного безмассового поля. Здесь если спинор имеет валентность Безмассовое поле содержит индексов, штрихованных или нештрихованных в зависимости от того, какое из двух неравенств имеет место: и или имеем скалярное волновое поле). То, что выражение (6.10.34) получается как результат повторного действия операторов (без свертки) на интеграл (6.10.9) или вторую строку выражения (6.10.28), представляется очевидным. Наш результат состоит в доказательстве того, что формула (6.10.34) дает общее аналитическое решение уравнения (6.10.35) (для симметричного спинорного поля при исходном предположении, что это справедливо для частных случаев интегралов, стоящих во второй строке в формулах (6.10.9) и (6.10.28).