Действительная структура

Выше мы ничего не говорили о действительной (т. е. вещественной) структуре пространства и об операции комплексного сопряжения в нем. Операция комплексного сопряжения в пространстве приводит к тому, что меняются ролями а- и -плоскости; в пространстве это операция дуального отображения элементов самого пространства которая переводит точки в плоскости и наоборот, а прямые — в другие прямые. Действительными точками пространства (т. е. точками пространства М являются точки, инвариантные по отношению к операции Они соответствуют семейству прямых в каждая из которых инвариантна относительно операции Согласно сказанному в гл. 6, § 2 [формула (6.2.16)], эти прямые происходят из линейных 2-пространств, полностью состоящих из изотропных твисторов. Таким образом, действительные точки пространства соответствуют прямым пространства которые полностью лежат в подпространстве изотропных проективных твисторов. Твисторное пространство Т состоит из элемента и еще трех частей и содержащих ненулевые твисторы для которых произведение является положительным, отрицательным и равным нулю (соответственно); следовательно, и пространство состоит из трех соответствующих частей: и Прямая I, представляющая точку пространства лежит, конечно, в ибо I — «действительная» точка.

Любая точка (соответствующая твистору имеет комплексно-сопряженную плоскость (соответствующую дуальному твистору . И обратно, любая

плоскость имеет единственную комплексно-сопряженную точку Чтобы точка из лежала на своей комплексно-сопряженной плоскости должно выполняться условие Таким образом, точки пространства — это точки, которые представляют -плоскости пространства пересекающиеся с их же комплексно-сопряженными -плоскостями. Такие -плоскости содержат действительные точки. В самом деле, если точка лежит на а-плоскости то, применив операцию сопряжения, можно убедиться, что она лежит и на -плоскости . И обратно, если пересекается с то пересечение должно происходить по изотропной геодезической, которая обязательно должна быть «действительной» (в смысле инвариантности относительно операции а значит, некоторые ее точки должны быть действительными. Но не все поскольку такая «действительная» изотропная геодезическая должна содержать еще и комплексные точки (а именно точки с комплексными значениями аффинного параметра). В целом же она обладает топологией римановой сферы и ее действительные точки образуют на этой сфере окружность. Согласно данной в гл. 6, § 2 первоначальной интерпретации изотропного твистора, его с точностью до пропорциональности можно рассматривать как изотропную прямую в М. Теперь мы видим, что эта интерпретация согласуется с настоящим геометрическим описанием.

Неизотропный твистор соответствует точке пространства или Чтобы дать его действительную интерпретацию в М, можно рассмотреть пересечение комплексной плоскости с Область пересечения представляет собой трех (действительно) мерное множество точек, каждая из которых является представлением изотропной геодезической в М. Это трех (действительно) параметрическое семейство изотропных геодезических в М представляет собой конгруэнцию Робинсона (с точностью до пропорциональности), представляющую твистор Данная ситуация тесно связана с обсуждавшейся в гл. 6, § 2 геометрической интерпретацией неизотропных твисторов (а также с вопросами, затронутыми в гл. 7, § 4; см. рис. 7.7 и т. д.). Заметим, что точки пространства соответствуют конгруэнциям Робинсона с правым вращением, а точки пространства — конгруэнциям Робинсона с левым вращением (см. гл. 6, § 2); кроме того, твисторы в пространствах описывают структуру момента импульса безмассовых частиц с правовинтовой и левовинтовой спиральностью, соответственно (см. гл. 6, § 3).