Часть II

ГЛАВА 12. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Признак сходимости Куммера

Широкий, практичный и неоднократно применявшийся в ходе нашего курса признак сходимости Даламбера (см. § 6 главы 3) является недостаточно чувствительным. Он, взятый в своей непредельной форме, в принципе не способен выявлять сходимость ряда если

Переход к непредельной форме этого признака повышает его чувствительность лишь незначительно.

Весьма чувствительный признак Маклорена — Коши (см. § 3 главы 3) оказывается, наоборот, недостаточно практичным. Теоретически интересно и практически полезно ввести в употребление признаки сходимости рядов столь же или почти столь же практичные, как и признак Даламбера, но существенно более чувствительные.

Малая чувствительность признака сходимости Даламбера объясняется (ср. § 6 главы 3) тем, что он основан на сравнении исследуемого ряда с таким резко расходящимся рядом, как арифметическая прогрессия, или же с таким быстро сходящимся рядом, как геометрическая прогрессия. Вместе с тем нам уже известны (см. § 4 главы 3) весьма медленно сходящиеся, а также и весьма медленно расходящиеся ряды. Естественно попытаться построить признаки сходимости рядов, основанные на сравнении их членов с членами этих «вяло развивающихся» рядов. Такая конструкция была предложена Куммером.

Теорема (признак сходимости Куммера). Пусть дан расходящийся ряд

с положительными членами. Если для ряда

начиная с некоторого номера

то ряд (12.2) сходится.

Если же, начиная с некоторого

то ряд (12.2) расходится.

По существу признак сходимости Куммера является уточнением уже известного третьего признака сравнения (теорема 3 § 2 главы 3).

Доказательство. Пусть выполняется соотношение (12.3). Как мы знаем, изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. Поэтому можно считать, что (12.3) имеет место для всех начиная с Из (12.3) следует, что

и поэтому Значит, чцсла спип образуют монотонно убывающую последовательность положительных чисел. Пусть а —ее предел.

Рассмотрим ряд

частичная сумма этого ряда есть

Переходя к пределу при возрастании мы получаем

т. e. стоящий слева предел существует и ряд (12.6) сходится. Но тогда на основании (12.5) по первому признаку сравнения (теорема 1 § 2 главы 3) сходится и ряд

и тем самым (теорема 2 § 8 главы исходный ряд. Пусть теперь, наоборот, имеет место (12.4). Тогда

и сравнение исследуемого ряда с заведомо расходящимся рядом (12.1) при помощи третьего признака сравнения (теорема 3 § 2 главы 3) дает нам его расходимость.

Подобно признакам сходимости Даламбера и Коши, признак Куммера может быть сформулирован и в предельной форме, которая выглядит следующим образом: Если даны ряд (12.2) и расходящийся ряд (12.1), то из

следует сходимость ряда (12.2), а из

— его расходимость.

Подчеркнем, что описанный только что признак сходимости Куммера является общим признаком: выбирая различным образом расходящийся ряд мы будем получать различные конкретные признаки сходимости.

Пример? Возьмем в качестве ряда (12.1) последовательность единиц:

Тогда неравенство (12.3) превращается в откуда признаком сходимости ряда (12.2) оказывается неравенство

Неравенство же (12.4) переписывается в этом случае как

и признаком расходимости ряда (12.2) становится неравенство

Но условие сходимости (12.7) (выполняющееся, начиная с некоторого вместе с условием расходимости (12.8) составляют, как известно, признак Даламбера.

Неудобства непосредственного практического приложения признака сходимости Куммера связаны с зависимостью его от взятого «эталонного» расходящегося ряда (12.1). Выбирать его каждый раз специально для решения вопроса о сходимости того или иного конкретного ряда (12.2) может оказаться затруднительным по следующим соображениям. Если в качестве ряда (12.1) взять слишком быстро расходящийся ряд (вроде расходящейся геометрической прогрессии), то полученный конкретный признак сходимости окажется (подобно признаку Даламбера) недостаточно чувствительным. Если, наоборот, взять очень медленно расходящийся (но все-таки расходящийся) ряд, то члены его неизбежно будут зависеть от номера довольно сложным образом и получится признак чувствительный, но непрактичный.

В связи со сказанным представляется целесообразным выбрать заранее некоторую серию расходящихся рядов и по каждому из них составить соответствующую реализацию признака Куммера.