§ 9. Биномиальный ряд
Найдем разложение в степенной ряд функции
(
— произвольное вещественное число).
Дифференцируя равенство 
раз, мы получаем
так что
Следовательно, рядом Маклорена функции 
будет ряд
Если число 
— целое и положительное, то в 
и во всех последующих коэффициентах появляется равный нулю сомножитель. Поэтому эти коэффициенты, а следовательно, и сами члены, обращаются в нуль и ряд превращается в конечную сумму. Если же число 
нецелое, или целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда в нуль не обратится и нам придется иметь дело с бесконечным рядом. Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты — биномиальными коэффициентами. По внешнему виду они напоминают обычные биномиальные коэффициенты, рассматриваемые в элементарной математике.
Определим радиус сходимости биномиального ряда. Для этого составим ряд из модулей членов биномиального ряда и воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Мы имеем
так что
и потому
Следовательно, при 
биномиальный ряд абсолютно сходится, и можно говорить о его сумме 
Нам остается проверить, что ряд (7.24) действительно сходится к функции 
Внутри своего интервала сходимости биномиальный ряд (как и всякий степенной ряд) сходится равномерно.
Поэтому применима теорема о почленном дифференцировании ряда (см. § 10 главы 5), которая дает нам
Умножим обе части написанного равенства на 
и приведем подобные члены. (Эта операция законна, так как при 
ряд, стоящий в (7.25) справа, сходится абсолютно.) В результате мы снова получим сходящийся ряд, в котором коэффициентом при 
будет сумма двух соседних коэффициентов умноженного ряда:
Эту сумму можно переписать как
Мы получили умноженный на 
коэффициент при 
в биномиальном ряде (7.24). Таким образом, в области сходимости биномиального ряда должно быть
Рассмотрим теперь отношение
и найдем производную этого отношения
Ввиду (7.26) числитель последней дроби равен нулю, так что
Следовательно, отношение является постоянной:
Для определения этой постоянной положим в (7.23) и в 
При этом мы, очевидно, получим
так что
Таким образом, из (7.27) и (7.28) следует, что
т. е. ряд Маклорена функции 
при 
сходится к этой функции. Поэтому мы можем написать
Придавая 
те или иные значения, можно получать различные полезные формулы.
Примеры.
1. При 
мы имеем
2. При 
получаем
