§ 6. Почленное интегрирование прогрессий
Считая, что переменная х принимает вещественные значения, напишем тождество
и проинтегрируем правую и левую его части по 
от О до некоторого 
Выполняя очевидные интегрирования, мы получаем
а применяя к последнему интегралу теорему о среднем,
где 
(ясно, что выносимое за знак интеграла значение переменной х должно, вообще говоря, зависеть от 
поэтому оно и обозначено через 
Вычисление оставшегося интеграла дает нам
Полученное неравенство справедливо для любого 
причем для каждого 
число 
не превосходит 
которое меньше единицы. Следовательно, 
Поэтому, устремляя в равенстве 
к бесконечности, мы получим в пределе
Эта формула интересна и сама по себе, так как позволяет представить логарифмическую функцию в виде суммы натуральных степеней, взятых с надлежащими коэффициентами. Для нас сейчас, однако, эта формула представляет интерес главным образом по другой причине.
Переписав ее в виде
мы можем сказать, что сумма интегралов всех членов бесконечной геометрической прогрессии (а точнее, предел сумм интегралов первых ее членов) равна интегралу от ее суммы. Разумеется, для того чтобы вся эта фраза имела смысл, необходимо, чтобы прогрессия во всей области интегрирования была равномерно сходящейся.
Подчеркнем, что это утверждение не является тривиальным следствием того, что «сумма интегралов от функций равна интегралу от их суммы», а было получено в результате определенных выкладок и ссылок на конкретные факты математического анализа.
