§ 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции

Воспроизведем разложение в ряд Маклорена логарифмической функции (ср. § 10 главы 5). Полагая в основной формуле для биномиального ряда мы имеем

Этот ряд сходится равномерно при так что можно произвести интегрирование от 0 до 1:

Эта формула позволяет вычислять натуральные логарифмы чисел (а так как натуральные логарифмы пропорциональны десятичным, то и десятичные тоже). Вычислим, например,

По соображениям, аналогичным тем, которые были приведены в § 8, мы не будем выполнять подстановки в формулу (7.31), приводящей к формуле

хотя в действительности эта последняя формула и верна. Подчеркнем, что для сколько-нибудь точного вычисления с ее помощью числа необходимо удержать огромное число членов ряда.

Однако формула (7.31) поддается преобразованию до вполне практичной. Заметим прежде всего, что в (7.31) нам не запрещено взять Заменив в ней х на — х, мы получим

При эта формула дает нам

Вычисления по этой формуле уже вполне осуществимы, однако можно сконструировать и еще более быстро сходящийся ряд. Почленное вычитание ряда (7.33) из (7.31) дает нам

Полагая теперь

мы принимаем тем самым

и формула (7.35) переписывается как

Заметим, что проведенный здесь прием улучшения сходимости ряда является частным случаем довольно общего метода, о котором будет идти речь в § 5 главы 14.

Пример. При

Стоящий в скобках ряд сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем 1/9. Поэтому удержание каждого следующего члена увеличивает точность в определении грубо говоря, на один десятичный знак.