§ 5. Суммируемость рядов по Пуассону — Абелю и их абсолютная сходимость

Различие между абсолютной сходимостью ряда и его условной сходимостью с точки зрения суммирования по Пуассону — Абелю, вообще говоря, сохраняется; например, ряд

по Пуассону—Абелю суммируем, но ряд, составленный из модулей его членов, т. е. ряд

нет. Тем не менее здесь это различие оказывается как бы более слабым, чем в случае обычной сходимости.

Например, это проявляется при рассмотрении операции умножения рядов.

Определение. Пусть нам даны ряды

Произведением этих рядов будем называть ряд

в котором

Как было показано в § 5 главы 4, для абсолютно сходящихся рядов и V имеет место

Если же оба ряда и V сходятся, но лишь условно (см. § 4 главы 4), то это естественное на первый взгляд соотношение перестает быть верным (утрачивает смысл его правая часть).

Пример. Пусть каждый из рядов и V есть

Тогда для члена ряда являющегося произведением и V, мы имеем:

Ввиду того, что здесь должно быть

так что ряд не удовлетворяет необходимому признаку сходимости из § 6 главы 2, и сумма не существует.

Однако, с точки зрения суммирования по Пуассону — Абелю различие в этом вопросе между абсолютной и условной сходимостями утрачивается.

Теорема. Если ряды и V суммируемы по Пуассону — Абелю, то их произведение также суммируемо по Пуассону — Абелю, и

Доказательство. Суммируемость рядов и V по Пуассону — Абелю означает, в частности, сходимость степенных рядов ипхп и при

Следовательно, по теореме Абеля (см. § 2 главы 6) каждый такой ряд сходится, и притом абсолютно. Но тогда по теореме об умножении абсолютно сходящихся рядов

Левая часть этого равенства по условию при имеет предел, равный произведению Значит, и правая его часть имеет предел, который по определению есть

Таким образом, с точки зрения умножения рядов суммирование рядов по Пуассону — Абелю даже «ближе» к сложению конечных наборов слагаемых, чем суммирование рядов в обычном смысле.

Примеры.

1. Пусть оба ряда и V являются одним и тем же рядом

Тогда, как нетрудно подсчитать, т. е. ряд есть

Как следует из примера 1 § 3,

Поэтому по только что доказанной теореме Это согласуется с результатом примера 2 § 3.

2. Рассмотрим ряд

Проверим его сходимость и найдем его сумму.

Так как этот ряд знакочередующийся, к нему естественно применить признак сходимости Лейбница (см. §§ 6 и 7 главы 4) Сначала докажем монотонность последовательности Преобразуем для этого разность соседних модулей членов ряда:

или, выписывая последнюю сумму в обратном порядке, получим

Значит, заменяя во всех знаменателях последний сомножитель на получим

или, применяя уже известный прием, получим

Оценим теперь величину Мы имеем

В знаменателе каждой из дробей один из сомножителей не меньше, чем Заменив его на мы дробь только увеличим. Значит,

вынося за скобки, мы получаем

так что

или, производя для упрощения записи оценку с некоторым «запасом», получим

Но, очевидно, при любом целом откуда без труда получается, что или, полагая и суммируя, имеем

Таким образом,

откуда

Значит, ряд (15.12) сходится.

Непосредственное вычисление суммы ряда (15.12) затруднительно, однако мы можем здесь воспользоваться тем, что он является произ» ведением ряда

на себя. Этот последний ряд сходится к сумме (см. § 11 главы 7), но лишь условно, и потому говорить о сумме в обычном смысле для

его произведения на себя неправомерно. Но он сходится (с той же суммой в смысле Пуассона — Абеля. Следовательно, и его произведение на себя, т. е. ряд (15.12), также сходится в смысле Пуассона—Абеля и имеет сумму Так как, наконец, ряд (15.12) по доказанному сходится и в обычном смысле, его обычная сумма (на основании регулярности суммирования по Пуассону — Абелю) также должна быть равна

3. Рассмотрим ряд

Он не сходится (даже условно), поскольку

Однако этот ряд может быть получен в результате перемножения ряда

и геометрической прогрессии

В самом деле, в нашем случае

и суммирование стоящей в скобках конечной геометрической прогрессии дает нам требуемое.

Нам остается вспомнить, что сумма ряда (15.14) по Пуассону — Абелю равна 1/2, а прогрессия (15.15) сходится в обычном смысле (а потому и по Пуассону — Абелю) и имеет сумму, равную 2. Следовательно, ряд (15.13) также должен сходиться по Пуассону — Абелю и сумма его должна быть равна