§ 6. Двойные функциональные ряды
В двойных функциональных рядах члены являются функциями от одной или нескольких переменных.
Определение. Двойным функциональным рядом называется выражение
где х может быть скалярной или векторной переменной, т. е. принимать в качестве своих значений числа, или пары чисел, или тройки чисел и т. д.
Придавая в выражении (13.36) переменной х некоторые значения, мы будем получать те или иные численные двойные ряды. В зависимости от конкретных значений х эти ряды могут сходиться или расходиться.
Определение. Совокупность всех значений переменной х, для которых ряд (13.36) сходится, называется областью сходимости двойного функционального ряда (13.36).
-частичные суммы 
двойного функционального ряда (13.36), а также его сумма 
суть функции от переменной х. При этом сумма ряда задана на области его сходимости.
Определение. Двойной функциональный ряд (13.36) называется сходящимся в некоторой области изменения X переменной х равномерно, если сходимость частичных сумм 
к сумме ряда 
происходит равномерно по 
т. е. если по любому 
найдутся такие 
что при 
для всех х из X
На двойные функциональные ряды распространяется признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
Теорема. Если в двойном функциональном ряде
каждый член является функцией, определенной на некотором замкнутом множестве 
и существует такой сходящийся числовой двойной ряд 
с положительными 
для любого х из 
то двойной функциональный ряд (13.37) сходится в множестве X равномерно.
Равномерно сходящиеся двойные ряды имеют непрерывные в области равномерной сходимости суммы; в пределах этой области сходимости их можно почленно интегрировать и дифференцировать. Эти утверждения можно сформулировать в виде следующих теорем.
Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося двойного ряда. Пусть все члены двойного функционального ряда
определены в области X, непрерывны в ней, а сам ряд сходится в X равномерно. Тогда суммой ряда будет функция, непрерывная на X.
Теорема о почленном интегрировании двойных функциональных рядов. Если функциональный ряд (13.38) сходится равномерно на
некоторой области X и имеет суммой функцию 
а подмножество М области X таково, что все интегралы вида
существуют, то составленный из этих интегралов двойной ряд
также сходится и имеет суммой функцию
Теорема о почленном дифференцировании двойных функциональных рядов. Пусть двойной функциональный ряд (13.38) сходится в области X и имеет сумму 
Пусть х есть векторная переменная, имеющая вид 
где 
— обычные скалярные (т. е. принимающие вещественные значения) переменные, члены этого ряда имеют всюду в X непрерывные частные производные по некоторой компоненте векторной переменной 
а составленный из этих производных двойной функциональный ряд
сходится в X равномерно и имеет сумму 
Тогда двойной ряд (13.38) сходится на X равномерно и частная производная по 
его суммы равна сумме двойного ряда (13.39):
