§ 3. Свободно опертая балка

Пусть балка длины находящаяся под воздействием некоторой нагрузки, свободно оперта по концам. Это значит, что на обоих концах балки обращаются в нуль как вертикальные ее смещения:

так и изгибающие моменты:

(т. е. кривизна балки; см. рис. 30).

Действуя в соответствии с намеченным в § 1 планом решения задачи, выберем в качестве функции состояния балки функцию ее прогиба и займемся подбором ортогональной системы функций, которой будем разлагать эту функцию прогиба.

Рассмотрим для этого однородную по длине двухпролетную неразрезную балку с левым концом в и правым — в одинаково опертую обоими своими концами на опоры и имеющую промежуточную опору при препятствующую вертикальному смещению балки в этой точке: Пусть эта балка загружена «нечетным образом», т. е. каждой силе, приложенной к ней в точке соответствует равная ей по величине и противоположная по направлению сила, приложенная к балке в точке , а каждому моменту, приложенному к балке в точке — равный ему по величине и совпадающий по направлению момент, приложенный в точке (рис. 31).

Рис. 30.

Рис. 31.

Соотношение (17.3) и следствие 1 теоремы § 8 главы 9 показывают, что изгибающий момент в рассматриваемой балке является нечетной функцией , в частности, «Физически» естественно предполагать, что соответствующая функция прогиба также является нечетной. Формально это также вытекает из следствия 1 теоремы § 8 главы 9, ибо функция согласно (17.12) отличается лишь постоянным множителем от второй производной функции

Левая половина рассматриваемой неразрезной балки воздействует на правую ее половину лишь некоторой вертикальной («перерезывающей») силой и не прилагает к ней никакого изгибающего момента. Поэтому, если удалить левую половину балки, заменив ее соответствующей реакцией опоры, расположенной в точке то ни на изгибающих усилиях в правой половине балки, ни на значениях функции прогиба при это никак не скажется. Наоборот, если рассматривать первоначально лишь правую часть балки, то присоединение к ней «по нечетности» левой части не изменит имеющейся картины изгиба.

Таким образом, естественно считать балку с левым концом в и правым в и свободно опертую на опоры своими концами половиной описанной выше «нечетной» неразрезной балки. Будем поэтому, в соответствии со сказанным в § 11 главы 9, рассматривать разложение функции прогиба такой балки на сегменте в ряд Фурье по синусам:

Заметим, что функция прогиба является непрерывной функцией и поэтому, согласно теореме Дирихле, действительно может быть разложена в ряд Фурье (и в том числе в ряд Фурье по синусам (17.20)), который везде сходится к этой функции.

Возникает соблазн определить коэффициенты этого разложения непосредственно на основании дифференциального уравнения изгиба балки (17.17).

В качестве примера, однако, возьмем случай, когда балка загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности на участке от 0 до и никак не загружена в оставшейся части (рис. 32).

Чтобы воспользоваться при этом дифференциальным уравнением изгиба (17.17), нужно четыре раза продифференцировать почленно ряд, описывающий функцию прогиба. Однако, согласно теореме § 10 главы 5, мы можем быть уверены в правомерности этого дифференцирования и в том, что полученная производная равна правой части (17.17), лишь в случае равномерной сходимости ряда четвертых производных членов ряда (17.20) к функции

Но в рассматриваемом случае все четвертые производные членов ряда для являющихся синусами с некоторыми коэффициентами, суть те же синусы, снабженные другими коэффициентами, так что являются во всяком случае непрерывными функциями. Следовательно, и их частичные суммы также непрерывны. В случае равномерной сходимости непрерывной должна быть на основании теоремы из § 8 главы 5 и сумма всего ряда. Но в действительности эта сумма равна а эта функция разрывна.

Рис. 32.

Полученное противоречие показывает, что теорема о почленном дифференцировании рядов не дает нам оснований воспользоваться в этом случае дифференциальным уравнением изгиба (17.17) для нахождения коэффициентов ряда из (17.20).

Конечно, все сказанное не означает, что при использовании здесь для наших целей уравнения (17.17) коэффициенты из разложения (17.20) будут определены неверно и что пользоваться уравнением (17.17) заведомо нельзя. Более того, описанный путь в данном случае приводит на самом деле к верному ответу. Однако правомерность такого пути и обоснованность ответа могут быть установлены лишь на основании более тонких и более частных соображений, чем общая теорема о почленном дифференцировании рядов.