§ 6. Признак сходимости Дирихле

Рассмотрим достаточно широкий, практичный и чувствительный признак сходимости знакопеременных рядов.

Теорема (признак сходимости Дирихле). Пусть нам дан ряд

Если частичные суммы ряда

ограничены в совокупности некоторой постоянной Т, а последовательность

монотонно не возрастает, и

то ряд (12.27) сходится.

Доказательство. Из (12.30) следует, что по любому найдется такое что при

Кроме того, мы имеем для любого

Положим в лемме из предыдущего параграфа Эта лемма даст нам тогда для и каждого ввиду (12.31)

или, переходя к пределу при неограниченном возрастании получим

Ввиду произвольности это означает, что ряд (12.27) сходится.

Следствие (признак сходимости Абеля). Если для ряда (12.27) последовательность (12.29) является монотонной и ограниченной, а ряд (12.28) сходится, то сходится и ряд (12.27).

Доказательство. В рассматриваемом случае последовательность должна иметь конечный предел. Обозначим его через а. Тогда

Из определения предела следует, что

так что первый из стоящих в (12.32) справа рядов подпадает под условия признака Дирихле и потому сходится. Второй же ряд сходится по условию. Следовательно, сходится и ряд (12.27).

Пример. Положим для ряда

при любом

Здесь, очевидно, выполняется условие (12.30), а на основании сказанного в § 7 главы 1

Последнее выражение при любом ограничено сверху числом

Таким образом, условия признака Дирихле выполнены, и ряд (12.33) сходится.

Полагая в формулировке признака Дирихле

мы получаем, что ряд (12.27) — знакочередующийся, и признак Дирихле превращается для этого случая в признак сходимости Лейбница.