§ 12. Экстремальное свойство сумм Фурье

Если функция удовлетворяет надлежащим условиям, то ее суммы Фурье не только неограниченно приближаются к ней в пределе, но каждая из этих сумм в некотором, именно в квадратичном смысле (см. § 3 главы 3) описывает ее наилучшим образом. Точное содержание этого утверждения заключается в следующей теореме.

Теорема. Если функция интегрируема на сегменте с квадратом, то из всех тригонометрических многочленов вида

наиболее близким к в квадратичном смысле на сегменте будет сумма Фурье. Иными словами, интеграл

зависящий от многочлена достигает своего минимума при т. е., когда коэффициенты суть коэффициенты Фурье функции

Доказательство. Запишем интеграл (16.57) в виде

Мы можем рассматривать его как функцию от коэффициентов Для достижения этим интегралом минимума необходимо, чтобы его частные производные по этим коэффициентам были равны нулю. Например, при

или

Вычисляя имеющиеся здесь интегралы по формулам (8.28), (8.29) и (8.30), мы получаем

есть соответствующий коэффициент Фурье. Аналогично можно убедиться в том, что коэффициентами Фурье являются и все числа в Все вторые производные по здесь равны т. е. положительны, и мы действительно имеем дело с минимумом. («Расщепленность» переменных в исследуемом выражении избавляет нас от необходимости проводить более сложные рассмотрения.)

То обстоятельство, что суммы Фурье наилучшим образом описывают поведение функции в целом, еще не

означает, что они хорошо описывают ее в отдельных точках, даже если те являются точками непрерывности Для этой цели более приспособленным оказывается суммирование по Чезаро.