§ 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды
Установим два важных свойства условно сходящихся рядов.
Теорема 1. Пусть
— условно сходящийся знакопеременный ряд,
— ряд, составленный из положительных членов ряда (4.22), а
— ряд, составленный из абсолютных величин отрицательных членов ряда (4.22).
Тогда оба ряда (4.23) и (4.24) расходятся.
Доказательство. Предположим сначала, что сходятся оба ряда (4.23) и (4.24). Заменим в ряде (4.22) все отрицательные члены нулями. Мы получим ряд (4.23), «разбавленный» нулями, который ввиду теоремы 5 § 8 главы 2 должен сходиться. Заменим, далее, в ряде (4.22) нулями все положительные члены, а у отрицательных изменим знаки. В результате получится «разбавленный нулями» ряд (4.24), сходящийся в силу тех же причин. Сумма двух построенных «разбавленных» рядов есть, очевидно, ряд модулей членов ряда (4.22), который тем самым по теореме о сложении рядов должен сходиться. Последнее же противоречит условию теоремы. Значит, оба ряда (4.23) и (4.24) одновременно сходиться не могут.
Предположим теперь, что сходится один из рядов (4.23) или (4.24), скажем, для определенности ряд (4.23), а ряд (4.24) расходится. Разбавим ряд (4.23), как это мы только что делали, нулями и вычтем полученный сходящийся ряд из (4.22), изменив у оставшихся членов знаки. Отбросив соответствующие нули, мы придем к ряду (4.24). По теореме о вычитании рядов он должен сходиться, а это
противоречит только что сделанному предположению. Значит, ни один из рядов (4.23) и (4.24) сходиться не может.
Теорема 2 (Римана). Пусть знакопеременный ряд
сходится условно. Тогда, каково бы ни было число 
можно надлежащей перестановкой членов ряда (4.25) получить условно сходящийся ряд
сумма которого будет равна 
Доказательство. Будем выписывать подряд положительные члены ряда (4.25), пока их сумма не превзойдет 
(может случиться, что таких членов не придется брать вовсе):
(ряд, составленный из положительных членов ряда (4.25), согласно предыдущей теореме, расходится, так что мы можем набрать сколь угодно большую сумму). Затем будем приписывать к имеющейся сумме отрицательные члены, пока новая сумма не опустится ниже 
(расходимость ряда отрицательных членов (4.26) обеспечивает нам такую возможность). Далее будем повторять этот процесс приписывания к сумме новых групп положительных и отрицательных членов, каждый раз минимально переходя через 
После каждого перехода частичная сумма ряда (4.26) будет по построению отличаться 
менее чем на абсолютную величину члена, последнего из приписанных в этом или в предыдущем переходах. Но по необходимому признаку сходимости ряда (§ 6 главы 2) эта абсолютная величина стремится к нулю. Следовательно, последовательность частичных сумм ряда (4.26) имеет пределом 
а это и означает требуемое.
Доказанная теорема подчеркивает нетривиальность теоремы о возможности неограниченной перестановки членов в абсолютно сходящихся рядах, установленной в
предыдущем параграфе. Заметим вместе с тем, что любые перестановки конечного числа членов допускаются в любых рядах; они не сказываются ни на сходимости рядов, ни-на величине их суммы.
