§ 14. Характер сходимости рядов Фурье

Вытекающая из теоремы Фурье сходимость рядов Фурье к соответствующим функциям зависит от аналитических свойств разлагаемых функций. Оказывается, что чем «глаже» функция, тем лучше сходится ее ряд Фурье. На этот счет имеются более точные и более сложно доказываемые утверждения, о которых пойдет речь в главе 16. Здесь мы ограничимся сравнительно грубым, но зато просто получаемым фактом.

Теорема 1. Если заданная на сегменте функция разлагается в ряд Фурье

удовлетворяет условиям

и имеет абсолютно интегрируемую на (например ограниченную) вторую производную:

то ряд Фурье функции сходится на равномерно и абсолютно.

Доказательство. Применяя к выражениям каждого коэффициента Фурье интегрирование по частям, мы получаем

Первое слагаемое справа обращается здесь в нуль, а интегрирование по частям оставшегося интеграла дает нам

Поэтому на основании (9.29) должно быть

Аналогично из (9.7) с использованием (9.28) получается, что

Из этих двух неравенств вытекает

при всех из . Значит, по признаку Вейерштрасса ряд Фурье сходится равномерно, а из самого неравенства (9.30) видно, что эта сходимость и абсолютная.

Для того чтобы воспользоваться этим результатом, а также для дальнейших целей (см. главу 17), докажем следующую несколько формальную теорему.

Теорема 2. Если имеет место тождественное равенство двух равномерно сходящихся тригонометрических рядов

то эти ряды равны и формально:

Доказательство. Умножим равенство (9.31) почленно на При этом в полученном равенстве слева и справа будут снова равномерно сходящиеся ряды. Согласно § 10 главы 5 эти ряды можно почленно интегрировать от до , и такое интегрирование дает

Ввиду ортогональности системы тригонометрических функций (см. § 4 главы 8) все интегралы слева и справа, содержащие синусы, обращаются в нуль, а из интегралов, не содержащих синусов, отличным от нуля при будет только

а при только

Таким образом, равенство (9.34) переписывается в виде

Так как число было выбрано нами произвольно, мы получаем (9.32).

Равенства (9.33) получаются аналогично почленным умножением (9.31) на и интегрированием по х от до

Из последних двух теорем непосредственно вытекает следствие о единственности разложения функции в ряд Фурье.

Следствие. Всякая функция заданная на и удовлетворяющая условиям (9.28) и (9.29) и имеющая абсолютно интегрируемую на (в частности, ограниченную) вторую производную, может быть разложена на сегменте в ряд Фурье только одним способом.

Ясно, что очевидная модификация этого утверждения справедлива и по отношению к разложению функции в ряд Фурье на любом другом сегменте.

Если мы получим два различных по виду разложения обладающей перечисленными свойствами функции в ряд Фурье, то у этих рядов можно приравнять соответствующие коэффициенты.

В действительности единственность ряда Фурье (и отвечающая ей возможность приравнивания коэффициентов) имеет место и для более широкого класса функций, но ее доказательство в общем случае оказывается существенно сложнее.

Заметим в заключение, что формальное почленное дифференцирование ряда

дает нам ряд

а формальное почленное интегрирование — ряд

Коэффициенты ряда производных (9.36), если с ростом и убывают, то медленнее, чем коэффициенты исходного ряда (9.35). Поэтому если ряд (9.36) сходится, то медленнее, чем ряд (9.35). Наоборот, коэффициенты ряда (9.37) убывают быстрее, чем коэффициенты исходного ряда, так что ряд, полученный почленным интегрированием, если сходится, то быстрее, чем исходный ряд.