§ 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость
Рассмотрим теперь прогрессию, в которой как первый член, так и знаменатель являются функциями некоторого переменного х:
Такого рода прогрессии называются функциональными. Придавая переменной х те или иные значения, мы будем получать различные числовые прогрессии:
В известном смысле можно говорить, что функциональная прогрессия (1.10) является своеобразной «функцией», а числовые прогрессии (1.11) — ее «значениями».
Некоторые из прогрессий (111) могут оказаться сходящимися, а другие — расходящимися. Из сказанного в предыдущем параграфе следует, что сходящимися будут те и только те прогрессии, для которых 
Кроме того, очевидно, сходятся также прогрессии, соответствующие тем значениям х, для которых а 
Однако этот тривиальный случай не представляет интереса и мы его рассматривать не будем.
Принято говорить, что значения х, для которых 
составляют область сходимости функциональной прогрессии (1.10).
Мы видим, что решение вопроса о сходимости функциональной прогрессии (1.10) связано только со значением ее знаменателя 
а функциональная зависимость 
от х лишь выражает ответ на этот вопрос в несколько иной форме. Поэтому мы будем в качестве независимой переменной брать сам знаменатель и обозначать его через х. Далее (поскольку мы отвлекаемся от неинтересного случая а 
значение а 
не влияет на сходимость прогрессии. Поэтому мы в дальнейшем будем полагать а 
и ограничиваться, таким образом, функциональной прогрессией
Рассмотрим теперь «скорость» сходимости различных прогрессий вида (1.12), т. е. вопрос о том, насколько быстро нарастающие суммы их первых членов стремятся к суммам прогрессий.
Сумма первых 
членов функциональной прогрессии (1.9) равна
Если 
то прогрессия (1.9) при этом значении сходится, а ее сумма равна
Это можно записать как
Разность между полной суммой (1.14) и частичной суммой (1.13) составляет
С ростом 
эта разность абсолютно убывает. С другой стороны, при каждом конкретном значении 
при приближении х к единице числитель последней дроби возрастает, приближаясь также к единице, а знаменатель убывает, приближаясь к нулю. Следовательно, вся дробь возрастает. Поэтому, чтобы при х, близком к 1, разность (1.16) была достаточно малой, необходимо взять большое число 
членов прогрессии. По мере приближения х к 1 это число 
неограниченно возрастает.
Однако если ограничиваться значениями х, для которых
то, очевидно, можно найти такое 
которое обеспечит любую наперед заданную малость разности (1.16) при всех таких х. Это обстоятельство называется равномерной сходимостью прогрессии (1.12) для всех х, удовлетворяющих неравенству (1.17).
Подчеркнем, что в неравенстве (1.17) число а может быть взято сколь угодно близким к единице, но должно быть строго меньше, чем 1.
