§ 7. Желательность систематической теории

В принципе мы могли бы при изучении сходимости числовых рядов ограничиться сказанным и исследовать каждый ряд с точки зрения критерия Коши. Однако тогда, приступая к изучению какого-нибудь нового ряда, мы вынуждены были бы каждый раз начинать с «пустого места». Наши возможности ограничивались бы при этом использованием индивидуальных особенностей каждого из изучаемых рядов, и вместо теории мы имели бы просто коллекцию разрозненных задач. Несколько шагов по этому пути было сделано в главе 1, посвященной прогрессиям. Но то, что оказалось пригодно для иллюстративных целей, совершенно нетерпимо при систематическом построении математической теории.

Поэтому мы сейчас займемся не столько установлением сходимостей или расходимостей отдельных рядов, сколько выяснением связей между поведением одних рядов и поведением других; мы будем учиться использовать сведения, полученные в результате анализа одного ряда, для упрощения исследования других рядов.

Выполняя эту программу, начнем с доказательства нескольких простых теорем, которые, по существу, являются непосредственным применением простейших теорем о пределах последовательностей к последовательностям частичных сумм рядов.