§ 7. Двойные степенные ряды

Пусть члены двойного ряда являются функциями от двух независимых переменных:

Определение. Двойной функциональный ряд вида (13.40) называется степенным, если каждый его член

имеет вид атпхтуп, где коэффициенты ряда не зависят от х и у.

Области сходимости двойных степенных рядов описываются теоремой, аналогичной теореме Абеля.

Теорема. Если двойной степенной ряд

сходится при некоторых значениях то он сходится (и притом абсолютно) при всех парах значений для которых

Наоборот, если ряд (13.41) в точке расходится, то он расходится также во всех точках для которых

Сформулированная теорема налагает некоторые ограничения на форму областей сходимости степенных двойных рядов. Тем не менее эти области могут иметь достаточно разнообразные очертания.

Примеры.

1. Двойная функциональная прогрессия

сходится, очевидно, при а также при и произвольном у, равно как и при и произвольном х. Область сходимости этого ряда имеет таким образом, вид, изображенный на рис. 17.

2. Рассмотрим двойной функциональный ряд

Общий член этого двойного ряда может быть записан как

Предположим, что при некоторых заданных х и у двойной ряд (13.42) сходится абсолютно. Это значит, что для получения суммы ряда мы можем складывать его члены в любой последовательности.

В частности, если сумма ряда (13.42) существует, то она может быть получена как

Таким образом, необходимым условием абсолютной сходимости двойного ряда (13.42) является абсолютная сходимость простого ряда, стоящего в (13.43) справа. Но это условие состоит в том, что

а для суммы ряда мы имеем

Далее, из абсолютной сходимости двойного ряда (13.42) должна следовать также сходимость двойного ряда

для суммы которого имеет место соотношение

так что условием существования этой суммы будет

Значит, (13.44) и (13.46) составляют необходимое условие абсолютной сходимости двойного ряда (13.42). При этом сумма его определяется из (13.45).

Рис. 17.

Предположим теперь, что выполняются неравенства (13.44) и (13.46), и покажем, что двойной ряд (13.42) сходится абсолютно. Составим для этого двойной ряд модулей членов двойного ряда (13.42). Для -частичной суммы этого нового двойного ряда мы имеем

При

(а это условие, как легко видеть, равносильно паре неравенств (13.44) и стоящая справа в (13.47) прогрессия сходится, так что

Мы видим, что в условиях (13.48) все частичные суммы двойного ряда модулей ограничены в совокупности. Следовательно, этот двойной ряд сходится, а исходный двойной ряд (13.42) сходигся тем самым абсолютно.

Рис. 18.

Таким образом, область абсолютной сходимости двойного ряда (13.42) представляет собой внутренность квадрата с вершинами , 0) и (0, —1) (рис. 18).

Из последней теоремы следует, что область сходимости ряда может отличаться от области его абсолютной сходимости разве лишь некоторыми точками границы этой области (ср. рассуждения по поводу ряда (6.7) в § 3 главы 6). Мы не будем здесь подробно останавливаться на анализе этого вопроса, предоставляя его читателю.