§ 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм

Теорема 1 (ассоциативный закон для сходящихся рядов). Если в сходящемся ряде

произвольно объединить соседние члены в группы, не нарушая порядка членов:

(разумеется, каждый член при этом должен входить только в одну группу) и найти суммы членов, входящих в каждую из групп, то составленный из этих сумм ряд

будет сходиться и иметь ту же сумму, что и первоначальный ряд (2.15).

Доказательство. Составим последовательность частичных сумм ряда (2.15)

Среди них, в частности, окажутся и все суммы вида

т. e. все частичные суммы ряда (2.16). Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2.16)

оказывается подпоследовательностью последовательности частичных сумм ряда (2.15). Но раз последовательность

по условию сходится и имеет предел ее подпоследовательность

также должна сходиться и иметь тот же предел. Это и означает, что «сконцентрированный» ряд (2.16) сходится и имеет ту же сумму, что и «редкий» ряд (2.15).

Следствие. Если в результате описанного в условии предыдущей теоремы объединения мы получим ряд (2.16), который расходится, то и первоначально взятый ряд также расходится.

В самом деле, если бы ряд (2.15) сходился, то сходился бы и ряд (2.16), а мы предположили обратное.

Пример. Выясним сходимость и найдем сумму ряда

Замечая, что при любом

рассмотрим ряд

Очевидно, для этого ряда

Вообще для четного:

а для нечетного:

Совершенно ясно, что

так что ряд (2.20) сходится Но тогда по доказанной теореме сходится и ряд (2.19), получаемый попарным объединением членов ряда (2.20), и сумма этого ряда также равна единице.

Замечание. Подчеркнем, что из сходимости «сконцентрированного» ряда (2.16) сходимость «редкого» ряда (2.15) может и не следовать, как и вообще на основании сходимости одной какой-либо подпоследовательности еще нельзя утверждать о сходимости всей последовательности.

Примеры.

1. Если в ряде

объединить попарно соседние члены:

то мы получим ряд

сходимость которого была установлена в предыдущем примере.

Однако исходный ряд не сходится, потому что для него, как легко проверить, не соблюдается сформулированный в § необходимый признак сходимости ряда: здесь на нечетных местах стоят единицы, так что

2. К такому же выводу приводит рассмотрение уже встречавшегося нам ряда

Вместе с тем, если все члены исходного ряда положительны, то обращение теоремы остается в силе: из сходимости ряда (2.16) следует сходимость ряда (2.15). Действительно, для ряда с положительными членами последовательность (2.17) является монотонной и неубывающей. Поэтому она должна сходиться, если сходится какая-либо ее подпоследовательность, например (2.18).

Теорема 2 (дистрибутивный закон для рядов; теорема об умножении ряда на число). Пусть

— некоторый ряд, а с — произвольное число, отличное от нуля. Тогда ряд

сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (2.21). Если ряд (2.21) сходится, и сумма его равна то сумма ряда (2.22) равна

Доказательство. Если последовательность частичных сумм ряда (2.21) есть

то последовательностью частичных сумм ряда (2.22), очевидно, будет

Так как

из существования предела слева (которое означает сходимость ряда (2.21) при следует существование предела справа (т. е. сходимость ряда (2.22)) и равенство (2.23). Наоборот, из существования предела справа следуют существование предела слева и опять-таки равенство (2.23).

Замечание 1. Если в формулировке теоремы допустить случай то ряд (2.22) будет в этом случае сходиться всегда, и никакой информации из этого факта нам извлечь не удастся.

Замечание 2. Мы доказали теоремы о рядах, аналогичные свойствам ассоциативности и дистрибутивности конечных сумм. Теорема о возможности переставлять в ряде члены, аналогичная коммутативности сложения, носит более узкий характер и справедлива уже не для всех рядов.

Пример. Рассмотрим ряд

В этом ряде видны чередующиеся группы равных друг другу положительных и отрицательных членов. Сумма членов в каждой группе по модулю равна единице.

Если суммировать члены ряда (2.24) в том порядке, в каком они написаны, то при завершении каждой группы положительных членов частичная сумма будет равна единице, а при завершении каждой группы отрицательных членов — нулю. Следовательно, этот ряд

расходится, хотя все его частичные суммы ограничены (они лежат между нулем и единицей).

Переставим теперь члены ряда (2.24) следующим образом:

(т. е. после каждого положительного члена будем писать по два отрицательных из следующей группы). Частичные суммы получающегося при этом ряда выглядят достаточно просто:

где — некоторое целое число, зависящее от и неограниченно возрастающее вместе с ростом Поэтому

так что ряд (2.25) сходится.

Наконец, переставив члены исходного рдца иначе:

(т. е. после по порядку группы положительных членов ставится по порядку отрицательный член; так как и групп положительных членов и отрицательных членов бесконечно много, можно считать, что их «одинаково много», и на каждый отрицательный член найдется целая группа положительных членов).

Объединим теперь группы положительных членов вместе со следующим за ним отрицательным членом в один член нового ряда. Каждый член нового ряда будет не меньшим, чем 1/2; поэтому его частичная сумма будет не меньше, чем

Следовательно,

т. е. этот ряд расходится, причем последовательность его частичных сумм оказывается неограниченной. Значит, на основании следствия теоремы 1 (об ассоциативном законе) ряд (2.26) также расходится.

Вместе с тем в рядах с положительными членами произвольная перестановка членов не нарушает сходимости рядов и не изменяет суммы сходящихся рядов.

Теорема 3 (Дирихле). Пусть дан ряд

с неотрицательными членами, а ряд

получается из ряда (2.27) произвольной перестановкой его членов. Тогда, если ряд (2.27) сходится, то ряд (2.28) также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (2.27).

Доказательство. Пусть ряд (2.27) сходится и сумма его равна Рассмотрим частичную сумму ряда (2.28)

Каждое из слагаемых этой суммы входит в ряд (2.27). Возьмем в раде (2.27) столь большое число первых членов, чтобы среди них оказались все слагаемые и составим частичную сумму ряда (2.27):

Так как все слагаемые входят в а остальные слагаемые (если такие есть) неотрицательны, должно быть

Но частичные суммы ряда (2.27), ввиду неотрицательности членов ряда, не превосходят его суммы

Следовательно,

Так как это неравенство справедливо для любого все частичные суммы ряда (2.28) ограничены. Поэтому ряд (2.28) сходится и для его суммы справедливо

Так как теперь в наших рассуждениях ряды (2.27) и (2.28) стали равноправными, должно быть и

откуда следует, что

Теорема 4 (теорема о сложении рядов). Пусть

— два сходящихся ряда соответственно с суммами и

Тогда ряд

также сходится и сумма его равна

Доказательство. Для частичных сумм ряда (2.29) мы имеем

Справа в скобках стоят частичные суммы рассматриваемых рядов. Устремляя к бесконечности, мы получаем

а это и требовалось.

Доказанная теорема означает, что сходящиеся ряды можно почленно складывать и при этом складываются их суммы.

Теорема 5. Если

и

— два сходящихся ряда соответственно с суммами и а — произвольные числа, то ряд

также сходится и сумма его равна

Доказательство. Если то ряд (2.32) превращается в (2.31); если то ряд (2.32) превращается в (2.30), и теорема доказана. Предположим теперь, что Тогда по теореме 2 сходятся ряды

а по теореме 4 — ряд (2.32), причем его сумма равна

Следствие (теорема о вычитании рядов). Если сходятся ряды

и

и имеют суммы и то сходится ряд

и сумма его равна

В самом деле, полагая в предыдущей теореме мы получаем требуемое.