Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Сходимость последовательности функций. Основные определенияСейчас нам придется вспомнить некоторые факты, касающиеся сходимости последовательности функций. Определение. Последовательность функций
сходится к предельной функции
т. е. если для каждого
Определение. Последовательность функций
сходится к предельной функции
т. е. если для каждого
Заметим, что в этом определении Определение. Последовательность функций
сходится к предельной функции
Подчеркнем, что, в отличие от предыдущего определения, здесь утверждается существование Различие между описанными видами сходимости последовательностей функций можно наглядно представить себе геометрически. Рассмотрим графики двух функций различных определений и каждое из них по-своему будет разумным. Если функции последовательности
приближаются к функции Например, можно фиксировать некоторую точку
Здесь близость функций и их графиков оценивается по их различию в точке
Рис. 2.
Рис. 3. Сходимость последовательности (5.8) к предельной функции
Таким образом, «сходимость в точке Область сходимости последовательности (5.8) к функции графики функций из последовательности неограниченно приближаются к графику функции Вместе с тем расстояние между функциями
(рис. 4). В тех случаях, когда написанный максимум не достигается, вместо него следует рассматривать точную верхнюю границу значений
Рис. 4. Приближение в смысле так определенного расстояния функций из последовательности (5.8) к функции
т. е. каково бы ни было
Иными словами, каково бы ни было
Это и было выше определено как равномерная сходимость последовательности (5.8) к функции При рассмотрении сходимости последовательности функций от значения аргумента (в пределах области равномерной сходимости), а в качестве погрешности можно брать максимальную погрешность (по этой области). Тогда с ростом номера функции погрешность будет стремиться к нулю. Геометрически равномерная сходимость означает неограниченное приближение графиков функций
Рис. 5 Отметим еще один полезный вариант определения расстояния между функциями
Близость функций в равномерном смысле не связана каким-либо жестким образом с их близостью в квадратичном смысле. Например, на рис. 5 функция Однако если на сегменте
то
так что функции, близкие в равномерном смысле, не могут быть уж очень далекими в квадратичном смысле. Замечание. Каждая функция последовательности (5.7) может, в частности, быть постоянной. В этом случае последовательность функций превращается в числовую последовател ьность
Предположим, что эта последовательность сходится к пределу такое
Находимое так Пример. Рассмотрим более подробно, чем это было сделано в § 5 главы 1, вопрос о сходимости последовательности функций
Эта последовательность сходится к предельной функции
Мы можем утверждать также, что рассматриваемая последовательность функций сходится к предельной — функции
Заметим, однако, что по мере приближения
и
Это наводит нас на мысль, что в данном случае по
Такая мысль верна. В самом деле, предположим, что по какому-то
для всех
Следовательно, сходимость последовательности функций (5.13) к предельной функции К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Рассмотрим графики функций, составляющих последовательность (5.13), и график предельной функции Ввиду того, что
точной верхней границей значений
Рис. 6. По существу, «настоящей» сходимостью функции в той или иной области является именно ее равномерная сходимость в этой области. В условиях равномерной сходимости функций при переходе к пределу сохраняются основные свойства функций, их интегралов и производных. Почти очевидна следующая теорема. Теорема. Если каждая из последовательностей функций
и
сходится к своим предельным функциям
и ее пределом будет функция Доказательство. Возьмем произвольное
и для
при всех х. В силу равномерной сходимости последовательностей (5.14) и (5.15) это сделать можно. Если взять превосходящим как Сложив эти неравенства, мы получим
по-прежнему при всех Утверждение этой теоремы очевидным образом распространяется на суммы произвольного конечного числа слагаемых.
|
1 |
Оглавление
|