Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Сходимость последовательности функций. Основные определенияСейчас нам придется вспомнить некоторые факты, касающиеся сходимости последовательности функций. Определение. Последовательность функций
сходится к предельной функции
т. е. если для каждого
Определение. Последовательность функций
сходится к предельной функции
т. е. если для каждого
Заметим, что в этом определении Определение. Последовательность функций
сходится к предельной функции
Подчеркнем, что, в отличие от предыдущего определения, здесь утверждается существование Различие между описанными видами сходимости последовательностей функций можно наглядно представить себе геометрически. Рассмотрим графики двух функций различных определений и каждое из них по-своему будет разумным. Если функции последовательности
приближаются к функции Например, можно фиксировать некоторую точку
Здесь близость функций и их графиков оценивается по их различию в точке
Рис. 2.
Рис. 3. Сходимость последовательности (5.8) к предельной функции
Таким образом, «сходимость в точке Область сходимости последовательности (5.8) к функции графики функций из последовательности неограниченно приближаются к графику функции Вместе с тем расстояние между функциями
(рис. 4). В тех случаях, когда написанный максимум не достигается, вместо него следует рассматривать точную верхнюю границу значений
Рис. 4. Приближение в смысле так определенного расстояния функций из последовательности (5.8) к функции
т. е. каково бы ни было
Иными словами, каково бы ни было
Это и было выше определено как равномерная сходимость последовательности (5.8) к функции При рассмотрении сходимости последовательности функций от значения аргумента (в пределах области равномерной сходимости), а в качестве погрешности можно брать максимальную погрешность (по этой области). Тогда с ростом номера функции погрешность будет стремиться к нулю. Геометрически равномерная сходимость означает неограниченное приближение графиков функций
Рис. 5 Отметим еще один полезный вариант определения расстояния между функциями
Близость функций в равномерном смысле не связана каким-либо жестким образом с их близостью в квадратичном смысле. Например, на рис. 5 функция Однако если на сегменте
то
так что функции, близкие в равномерном смысле, не могут быть уж очень далекими в квадратичном смысле. Замечание. Каждая функция последовательности (5.7) может, в частности, быть постоянной. В этом случае последовательность функций превращается в числовую последовател ьность
Предположим, что эта последовательность сходится к пределу такое
Находимое так Пример. Рассмотрим более подробно, чем это было сделано в § 5 главы 1, вопрос о сходимости последовательности функций
Эта последовательность сходится к предельной функции
Мы можем утверждать также, что рассматриваемая последовательность функций сходится к предельной — функции
Заметим, однако, что по мере приближения
и
Это наводит нас на мысль, что в данном случае по
Такая мысль верна. В самом деле, предположим, что по какому-то
для всех
Следовательно, сходимость последовательности функций (5.13) к предельной функции К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Рассмотрим графики функций, составляющих последовательность (5.13), и график предельной функции Ввиду того, что
точной верхней границей значений
Рис. 6. По существу, «настоящей» сходимостью функции в той или иной области является именно ее равномерная сходимость в этой области. В условиях равномерной сходимости функций при переходе к пределу сохраняются основные свойства функций, их интегралов и производных. Почти очевидна следующая теорема. Теорема. Если каждая из последовательностей функций
и
сходится к своим предельным функциям
и ее пределом будет функция Доказательство. Возьмем произвольное
и для
при всех х. В силу равномерной сходимости последовательностей (5.14) и (5.15) это сделать можно. Если взять превосходящим как Сложив эти неравенства, мы получим
по-прежнему при всех Утверждение этой теоремы очевидным образом распространяется на суммы произвольного конечного числа слагаемых.
|
1 |
Оглавление
|