§ 5. Сравнительная оценка различных признаков сходимости
Качество признака сходимости определяется его широтой (применимостью), практичностью и чувствительностью.
Широта признака сходимости характеризуется классом тех рядов, к которым этот признак применим. Например, критерий сходимости Коши применим ко всем вообще численным рядам; большинство приведенных в этой главе признаков сходимости применимо к рядам с положительными членами; интегральный признак Маклорена — Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Всякая попытка анализа сходимости ряда при помощи того или иного признака должна начинаться с проверки того, входит ли исследуемый ряд в сферу применимости используемого признака.
После того как мы убедились, что выбранный признак сходимости применим к интересующему нас ряду, следует подумать о том, как выглядит это применение на практике. Соображения удобства, простоты, а иногда и самой фактической возможности применения признаков сходимости обычно играют при этом важную роль.
Рассмотрим, например, ряд
Для установления его сходимости при помощи интегрального признака следует доказать сходимость несобственного интеграла
Можно, конечно, заметить, что
а последний интеграл есть так называемый интеграл Пуассона, который равен 
(вычисление этого интеграла приведено в § 5 главы 11). Однако, для того чтобы это сделать, нужно либо помнить значение интеграла Пуассона, либо уметь его вычислять. Что же говорить, например, о ряде
для которого интегральный признак Маклорена — Коши требует работы с интегралом 
Вместе с тем очевидно, что при 
и
так что по первому признаку сравнения оба рассматриваемых ряда сходятся (ибо сходится геометрическая прогрессия со знаменателем 
).
Таким образом, путь непосредственного вычисления интеграла при применении интегрального признака сходимости не всегда приемлем. Правда, иногда можно прийти к цели путем каких-нибудь косвенных оценок величины этого интеграла, но это уже будет представлять собой самостоятельную задачу, иногда даже более трудную, чем анализ самого ряда.
Следовательно, при изучении рядов ограничиться одним только интегральным признаком сходимости нельзя, и необходимо овладеть еще другими признаками сходимости, быть может, не столь чувствительными, как интегральный признак, но зато более удобными в обращении, более практичными.
Наконец, для того чтобы применение признака сходимости было не только принципиально возможным и практически выполнимым, но и действительно приводило к цели, признак должен быть достаточно чувствительным.
Интегральный признак Маклорена — Коши является, как видно из его формулировки, необходимым и достаточным признаком. Это значит, что он устанавливает сходимость любого сходящегося ряда и расходимость любого расходящегося ряда из сферы своей применимости. Иными словами, интегральный признак является идеально чувствительным. В этом отношении он напоминает критерий сходимости Коши. Естественно, что все такие «необходимые и достаточные» признаки, если только они сколько-нибудь широки, неизбежно оказываются по отношению ко многим рядам непрактичными. В этом можно усмотреть проявление весьма общей закономерности: чем шире и богаче возможности того или иного математического аппарата, тем сложнее его логическая природа и тем труднее с ним управляться.
В следующих параграфах мы «ударимся в другую крайность» и рассмотрим два весьма практичных и достаточно широких, но зато малочувствительных признака. Впрочем, как будет видно из дальнейшего содержания курса, их чувствительности будет хватать для ответа на весьма большое число теоретических вопросов и решения многих практических задач.
