§ 7. Признак сходимости Коши

Сравнение рядов с прогрессиями приводит еще и к другому признаку сходимости, принадлежащему Коши.

Теорема (признак сходимости Коши). Если для ряда

с положительными членами, начиная с некоторого номера корень не будет превосходить некоторого числа т. е. если

то ряд (3.41) сходится.

Если, с другой стороны, для ряда (3.41), начиная с некоторого номера корень будет не меньше единицы.

то ряд (3.41) расходится.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением ряда

Из (3.42) мы в первой части теоремы имеем

т. е. члены ряда (3.41) меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

которая ввиду того, что сходится. Нам остается, как и при доказательстве признака сходимости

Даламбера, сослаться на возможность отбрасывания конечного числа членов ряда и на первый признак сравнения. Случай расходимости разбирается аналогично.

Подобно признаку сходимости Даламбера признак сходимости Коши имеет следствие в предельной форме: если для ряда (3.41)

то при этот ряд сходится, а при — расходится.

Пример. Рассмотрим ряд

Для этого ряда

и поэтому он сходится.