§ 9. Суммирование по Эйлеру

Теорема § 5 главы 14 о сходимости преобразованного по Эйлеру ряда в случае сходимости исходного ряда и о равенстве в этом случае их сумм носит односторонний характер: из сходимости преобразованного по Эйлеру ряда сходимость исходного ряда следует не обязательно.

Пример. Возьмем еще раз неоднократно рассматривавшийся ряд

Имея в виду, что преобразование Эйлера исходит из знакопеременной последовательности членов ряда (см. формулу (14.21) и последующее замечание), первая строка треугольной таблицы (14.16) здесь приобретает вид

все последующие строки состоят из одних нулей. Следовательно,

преобразование Эйлера превращает ряд (15.36) в ряд

с суммой 1/2.

Это дает нам основание ввести суммирующую функцию определяемую для ряда равенством

и назвать приписывание ряду 17 числа его суммированием по Эйлеру. Как нетрудно проверить, суммирование по Эйлеру является линейным. Его регулярность является предметом теоремы § 5 главы 14.

Суммирование рядов по Эйлеру носит весьма «сильный» характер. По Эйлеру поддаются суммированию многие весьма резко расходящиеся ряды. Так, для ряда

последовательностями разностей будут

так что преобразование Эйлера приводит в данном случае к ряду

сумма (обычная) которого равна 1/3.

Вместе с тем возможности суммирования по Эйлеру (как, впрочем, и любого иного суммирования) ограничены. Например, получить формулу (15.6) путем суммирования по Эйлеру ее левой части не удается.