§ 6. Переход к пределу под знаком производной
Теорема. Пусть последовательность функций
сходится в сегменте 
к предельной функции 
Пусть далее, функции из последовательности (5.31) имеют непрерывные производные, последовательность которых
сходится к некоторой предельной функции о 
равномерно во всем сегменте 
Тогда
2) последовательность (5.31) сходится к своей предельной функции 
равномерно.
Доказательство. Пусть 
На основании предыдущей теоремы (о переходе к пределу под знаком интеграла) мы имеем
Но, с другой стороны,
так что тождественно для х из 
Дифференцируя это равенство (при этом интеграл справа дифференцируется по его переменному верхнему пределу),
мы получаем
и часть 1) доказана.
Для доказательства 2) напишем тождество
Как уже отмечалось (см. § 3), для доказательства равномерной сходимости последовательности сумм достаточно установить равномерную сходимость последовательностей, составленных из слагаемых, т. е. в данном случае последовательностей
и
Но первая из этих последовательностей сходится равномерно на основании замечания в § 3, а вторая — в силу следствия теоремы § 5.
