§ 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши

Пусть дан ряд

Очевидно, каждый его член можно рассматривать как значение функции от номера члена:

Эта функция определена пока только для целых положительных значений аргумента. Ясно, что, как-то определив значения функции для всех нецелых значений аргумента, больших единицы, мы сможем говорить о функции принимающей значения для любого Например, в случае гармонического ряда

такой функцией может служить

а в случае геометрической прогрессии показательная функция

Теорема (интегральный признак сходимости Маклорена—Коши). Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, — функция, которая определена для всех вещественных непрерывна, возрастает и

Тогда для сходимости ряда (3.23) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл

Доказательство. Рассмотрим ряд, членами которого являются интегралы:

Частичными суммами этого ряда, очевидно, также будут интегралы:

Сходимость ряда (3.25) означает существование предела последовательности частичных сумм, т. е. сходимость (существование) несобственного интеграла

Вспомним теперь, что функция монотонна и не возрастает. Отсюда и из (3.24) следует, что для любого х между

Интегрируя каждую из трех частей этого неравенства по от до мы приходим к неравенству интегралов

или

Пусть ряд (3.23) сходится. Обратим внимание на левую сторону неравенства (3.28). По первому признаку сравнения (см. § 3) должен сходиться и составленный из интегралов ряд (3.25), а следовательно, и несобственный интеграл (3.26).

Пусть теперь ряд (3.23) расходится. Тогда, как было доказано (см. § 9 главы 2), расходится и ряд

получаемый из нашего ряда отбрасыванием его первого члена. Взглянем теперь на правую сторону неравенства (3.28) и применим снова первый признак сравнения, но уже в той его части, которая касается расходимости. Мы получим, что должен расходиться ряд интегралов (3.25), т. е. несобственный интеграл (3.26).

Теорема доказана.